第三章 极限
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\(\S\)1. 序列的极限
1. 定义和例子
- 定义 1: 定义域为自然数集的函数 \(f: \mathbb{N} \rightarrow X \) 叫做序列。 元素 \(x_n\) 叫做序列的第 \(n\) 项.
- 定义 2: 如果对于点 \(A \in \mathbb{R} \) 的任何邻域1) \(V(A)\), 存在号码 \(N\) (其选取与\(V(A)\) 相关), 使得数列的所有标号大于 \(N\)的项，包含在点 \(A\) 的这个 邻域 \(V(A)\) 之中，则称数 \(A \in \mathbb{R} \) 为数列 \({x_n}\) 的极限。
- 流行的表述：如果对于任何 \(\varepsilon > 0\), 存在号码 \(N\), 使得一切 \(n > N\), 有 \(|x_n - A| < \varepsilon \)
- 形式化定义：\[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall V(A) \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (x_n \in V(A)) \] 相应得有： \[\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon) \]
- 定义 3: 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A \), 就说数列 \({x_n}\) 收敛于 \(A\) 或趋于 \(A\), 并记成 “当 \(n \to \infty\) 时 \(x_n \to A \) ”。
- 有极限的序列叫做收敛序列，没有极限的序列叫做发散序列
- 例1： \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \)
- 例4： \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0 \)
2. 数列极限的性质
- 如果一个数列只有一个值，则叫做常数列
- 定义 4: 如果满足 \( \exists A, \exists N, \forall\; n > N (x_n = A) \), 就说 数列 \( \{x_n\}\) 为最终常数列
- 定义 5: 如果满足 \( \exists M \;\forall\; n \in \mathbb{N}(|x_n|<M) \), 就说数列 \( \{x_n\}\) 为有界数列
- 定理 1: a) 最终常数列可收敛.
- b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项.
- c) 数列不能有两个不同的极限.
- d) 收敛数列并有界.
- 定义 6: 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是两个数列，那么分别称数列\[ \{(x_n + y_n) \}, \{(x_n y_n)\}, \Bigl \{ \Bigl( \frac{x_n}{y_n} \Bigl) \Bigl \} \] 为它们的和、积、商
- 定理 2: 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是数列， 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B \), 那么
- a) \( \lim\limits_{n \to \infty}(x_n + y_n) = A + B \);
- b) \( \lim\limits_{n \to \infty}x_n \cdot y_n = A \cdot B \);
- c) \( \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{A}{B} \), 如果 \( y_n \ne 0(n=1,2\cdots) \land B \ne 0 \).
- 定理 3: a) 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} \) 是两个收敛数列，且 \( \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B \). 如果 \( A < B \), 就存在 \( N \in \mathbb{N} \)，使得对于任何 \( n > N \), 不等式 \( x_n < y_n \) 成立.
- b) 设 \( \{x_n\}, \{y_n\} , \{z_n\} \) 是这样三个数列: 当 \( n > N \in \mathbb{N} \) 时， \( x_n \leqslant y_n \leqslant z_n\). 如果 \( \{ x_n \} \) 与 \( \{ z_n \} \) 收敛于同一极限，那么数列 \( \{y_n\}\) 也收敛于这个极限.
3. 数列极限的存在问题
- 定义 7: 满足 \( \forall \varepsilon> 0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n > N \; \forall m > N (|x_m - x_n| < \varepsilon)\) 的 数列 \(\{x_n\}\) 叫做 基本列 或 柯西列
- 定理 4 (数列收敛的柯西准则): 数列收敛的充要条件是它是基本列
- 证明不是基本列的否命题是：\(\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon \)
- 定义 8: 设数列 \( \{x_n\} \), 递增列：满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})\)
- 不降列: 满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n \leqslant x_{n+1})\)
- 不增列: 满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n \geqslant x_{n+1})\)
- 递降列: 满足 \(\forall n \in \mathbb{N}(x_n > x_{n+1})\)
- 以上四种都称之为 单调数列
- 定义 9: 上有界列: 满足 \(\exists M,\forall n \in \mathbb{N}(x_n < M) \); 类似可定义 下有界列
- 定理 5(魏尔斯特拉斯): 不降数列有极限的充要条件是它上有界
- 例11: 当 \(q > 1\) 时， \( \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0 \).
- 推论1：\( \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \)
- 推论2：\( \forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \)
- 例12: \( \forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0 \), 其中 \( n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n \).
- 伯努利不等式：\( (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha \), 其中 \( n \in \mathbb{N}, \alpha > -1 \)
- 定义10：自然常数 \(e\) : \[ e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n \]
1)
定义见 a_数轴与实数的对应