第三章极限

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$\S$ 1. 序列的极限

1. 定义和例子

定义 1: 定义域为自然数集的函数 $f: \mathbb{N} \rightarrow X$ 叫做序列。元素 $x_n$ 叫做序列的第 $n$ 项.
定义 2: 如果对于点 $A \in \mathbb{R}$ 的任何邻域¹⁾ $V(A)$ , 存在号码 $N$ (其选取与 $V(A)$ 相关), 使得数列的所有标号大于 $N$ 的项，包含在点 $A$ 的这个邻域 $V(A)$ 之中，则称数 $A \in \mathbb{R}$ 为数列 ${x_n}$ 的极限。
- 流行的表述：如果对于任何 $\varepsilon > 0$ , 存在号码 $N$ , 使得一切 $n > N$ , 有 $|x_n - A| < \varepsilon$
- 形式化定义： $\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall V(A) \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (x_n \in V(A))$ 相应得有： $\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon)$
定义 3: 如果 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = A$ , 就说数列 ${x_n}$ 收敛于 $A$ 或趋于 $A$ , 并记成 “当 $n \to \infty$ 时 $x_n \to A$ ”。
- 有极限的序列叫做收敛序列，没有极限的序列叫做发散序列
- 例1： $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
- 例4： $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$

2. 数列极限的性质

如果一个数列只有一个值，则叫做常数列
定义 4: 如果满足 $\exists A, \exists N, \forall\; n > N (x_n = A)$ , 就说数列 $\{x_n\}$ 为最终常数列
定义 5: 如果满足 $\exists M \;\forall\; n \in \mathbb{N}(|x_n|<M)$ , 就说数列 $\{x_n\}$ 为有界数列
定理 1: a) 最终常数列可收敛.
- b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项.
- c) 数列不能有两个不同的极限.
- d) 收敛数列并有界.
定义 6: 设 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 是两个数列，那么分别称数列 $\{(x_n + y_n) \}, \{(x_n y_n)\}, \Bigl \{ \Bigl( \frac{x_n}{y_n} \Bigl) \Bigl \}$ 为它们的和、积、商
定理 2: 设 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 是数列，如果 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B$ , 那么
- a) $\lim\limits_{n \to \infty}(x_n + y_n) = A + B$ ;
- b) $\lim\limits_{n \to \infty}x_n \cdot y_n = A \cdot B$ ;
- c) $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{A}{B}$ , 如果 $y_n \ne 0(n=1,2\cdots) \land B \ne 0$ .
定理 3: a) 设 $\{x_n\}, \{y_n\}$ 是两个收敛数列，且 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B$ . 如果 $A < B$ , 就存在 $N \in \mathbb{N}$ ，使得对于任何 $n > N$ , 不等式 $x_n < y_n$ 成立.
- b) 设 $\{x_n\}, \{y_n\} , \{z_n\}$ 是这样三个数列: 当 $n > N \in \mathbb{N}$ 时， $x_n \leqslant y_n \leqslant z_n$ . 如果 $\{ x_n \}$ 与 $\{ z_n \}$ 收敛于同一极限，那么数列 $\{y_n\}$ 也收敛于这个极限.

3. 数列极限的存在问题

定义 7: 满足 $\forall \varepsilon> 0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n > N \; \forall m > N (|x_m - x_n| < \varepsilon)$ 的数列 $\{x_n\}$ 叫做 基本列 或 柯西列
定理 4 (数列收敛的柯西准则): 数列收敛的充要条件是它是基本列
- 证明不是基本列的否命题是： $\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon$
定义 8: 设数列 $\{x_n\}$ , 递增列：满足 $\forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})$
- 不降列: 满足 $\forall n \in \mathbb{N}(x_n \leqslant x_{n+1})$
- 不增列: 满足 $\forall n \in \mathbb{N}(x_n \geqslant x_{n+1})$
- 递降列: 满足 $\forall n \in \mathbb{N}(x_n > x_{n+1})$
- 以上四种都称之为 单调数列
定义 9: 上有界列: 满足 $\exists M,\forall n \in \mathbb{N}(x_n < M)$ ; 类似可定义 下有界列
定理 5(魏尔斯特拉斯): 不降数列有极限的充要条件是它上有界
- 例11: 当 $q > 1$ 时， $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0$ .
- 推论1： $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
- 推论2： $\forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$
- 例12: $\forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0$ , 其中 $n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n$ .
伯努利不等式： $(1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha$ , 其中 $n \in \mathbb{N}, \alpha > -1$
定义10：自然常数 $e$ : $e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n$

¹⁾

定义见 a_数轴与实数的对应

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第三章 极限

§\S1. 序列的极限

1. 定义和例子

2. 数列极限的性质

3. 数列极限的存在问题

第三章极限

$\S$ 1. 序列的极限