第三章 极限
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§1. 序列的极限
1. 定义和例子
- 定义 1: 定义域为自然数集的函数 f:N→X 叫做序列。 元素 xn 叫做序列的第 n 项.
- 定义 2: 如果对于点 A∈R 的任何邻域1) V(A), 存在号码 N (其选取与V(A) 相关), 使得数列的所有标号大于 N的项，包含在点 A 的这个 邻域 V(A) 之中，则称数 A∈R 为数列 xn 的极限。
- 流行的表述：如果对于任何 ε>0, 存在号码 N, 使得一切 n>N, 有 |xn−A|<ε
- 形式化定义：(limn→∞xn=A):=∀V(A)∃N∈N∀n>N(xn∈V(A)) 相应得有： (limn→∞xn=A):=∀ε>0∃N∈N∀n>N(|xn−A|<ε)
- 定义 3: 如果 limn→∞xn=A, 就说数列 xn 收敛于 A 或趋于 A, 并记成 “当 n→∞ 时 xn→A ”。
- 有极限的序列叫做收敛序列，没有极限的序列叫做发散序列
- 例1： limn→∞1n=0
- 例4： limn→∞sinnn=0
2. 数列极限的性质
- 如果一个数列只有一个值，则叫做常数列
- 定义 4: 如果满足 ∃A,∃N,∀n>N(xn=A), 就说 数列 {xn} 为最终常数列
- 定义 5: 如果满足 ∃M∀n∈N(|xn|<M), 就说数列 {xn} 为有界数列
- 定理 1: a) 最终常数列可收敛.
- b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项.
- c) 数列不能有两个不同的极限.
- d) 收敛数列并有界.
- 定义 6: 设 {xn},{yn} 是两个数列，那么分别称数列{(xn+yn)},{(xnyn)},{(xnyn)} 为它们的和、积、商
- 定理 2: 设 {xn},{yn} 是数列， 如果 limn→∞xn=A,limn→∞yn=B, 那么
- a) limn→∞(xn+yn)=A+B;
- b) limn→∞xn⋅yn=A⋅B;
- c) limn→∞xnyn=AB, 如果 yn≠0(n=1,2⋯)∧B≠0.
- 定理 3: a) 设 {xn},{yn} 是两个收敛数列，且 limn→∞xn=A,limn→∞yn=B. 如果 A<B, 就存在 N∈N，使得对于任何 n>N, 不等式 xn<yn 成立.
- b) 设 {xn},{yn},{zn} 是这样三个数列: 当 n>N∈N 时， xn⩽. 如果 \{ x_n \} 与 \{ z_n \} 收敛于同一极限，那么数列 \{y_n\} 也收敛于这个极限.
3. 数列极限的存在问题
- 定义 7: 满足 \forall \varepsilon> 0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n > N \; \forall m > N (|x_m - x_n| < \varepsilon) 的 数列 \{x_n\} 叫做 基本列 或 柯西列
- 定理 4 (数列收敛的柯西准则): 数列收敛的充要条件是它是基本列
- 证明不是基本列的否命题是：\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon
- 定义 8: 设数列 \{x_n\} , 递增列：满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})
- 不降列: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n \leqslant x_{n+1})
- 不增列: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n \geqslant x_{n+1})
- 递降列: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n > x_{n+1})
- 以上四种都称之为 单调数列
- 定义 9: 上有界列: 满足 \exists M,\forall n \in \mathbb{N}(x_n < M) ; 类似可定义 下有界列
- 定理 5(魏尔斯特拉斯): 不降数列有极限的充要条件是它上有界
- 例11: 当 q > 1 时， \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0 .
- 推论1： \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
- 推论2： \forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1
- 例12: \forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0 , 其中 n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n .
- 伯努利不等式： (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha , 其中 n \in \mathbb{N}, \alpha > -1
- 定义10：自然常数 e : e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n
1)
定义见 a_数轴与实数的对应