数学分析 Mathematical Analysis

典型的数学论断具有 $A \Rightarrow B$ 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语

证明中使用古典推证法则： $A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$ A 真且 A 蕴含 B,则 B 也真

排中律：$(A \lor \lnot A)$ 始终成立

逆否命题等价于原命题: $\lnot(\lnot A) \Leftrightarrow A$

证明开始与结束: $\blacktriangleleft$ 及 $\blacktriangleright$

据定义等于： $:=$ 或 $=:$ 其中两点放在被定义的对象一边，比如式子 $$\int_{a}^{b} f(x)dx := \lim_{\lambda(P)\rightarrow 0} \sigma(f,P,\xi)$$ 是用右端定义左端，而右端含义认为是已知的

朴素集合论,康托尔(G.Gantor 1845-1918)

罗素(B.Russell)(1872-1970)悖论: 设 $M$ 为一集合，$P(M)$ 表示 “$M$ 是不以自己作为元素的集”，考察集合 $K=\{M|P(M)\}$ 将有 $P(K)$ 不为真且 $\lnot P(K)$ 也不为真，产生矛盾

集合论公理体系

$x$ 是集合 $X$ 的元素记为： $x \in X$ 或 $X \ni x$ 不属于则为 $x \notin X$

存在量词：$\exists$ “存在”或“找到”； 全称量词：$\forall$ “任何的”或“对于任何的”。

$\forall x((x\in A) \Leftrightarrow (x\in B))$ 则集合 A 与 B 为等价的，简记为 $A=B$

$B$ 包含 $A$： $(A \subset B):=\forall x((x \in A)\Rightarrow(x \in B))$

$(A=B) \Leftrightarrow (A \subset B)\land(B \subset A)$

集合 $M$ 的空子集：$\varnothing = \{ x \in M| x \neq x \}$

$A,B$ 并集： $A \cup B := \{x \in M|(x \in A)\lor (x \in B)\}$

$A,B$ 交集： $A \cap B := \{x \in M|(x \in A)\land(x \in B)\}$

$A,B$ 差集： $A \setminus B := \{x \in M|(x \in A)\land(x \notin B)\}$

$A$ 在 $M$ 中的补集：$C_M A$

德•摩根(De.Morgan 1806-1871)规则： $$C_M(A \cup B) = C_M A \cap C_M B$$ $$C_M(A \cap B) = C_M A \cup C_M B$$

集合的直积（笛卡尔积）：笛卡尔(Descartes 1596-1650) $$X \times Y := \{(x,y)|(x \in X)\land(y \in Y)\}$$ 其中 $(x,y)$ 为序对（其第一项是 $X$ 的元素，第二项为 $Y$ 中的元素。

设序对 $z=(x_1, x_2)$ 是集合 $X_1,X_2$ 的直积 $X_1 \times X_2$ 中的元素，那么 $x_1$ 叫做序对 $z$ 的第一射影，记作 $\textrm{pr}_1 z$ ; 而 $x_2$ 叫做序对 $z$ 的第二射影，记作 $\textrm{pr}_2 z$

通常也叫 映射、变换、射、算子、泛函

记为 $f: X \rightarrow Y$ 或 $X \rightarrow^f Y.$ 或 $y=f(x)$

函数的值集（值域）： $$f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\}$$

概念：函数的出发域、函数的到达域

例1：球体积公式 $V= \frac{4}{3}\pi r^3$ 为在正实数集 $\mathbb{R}_+$ 上的函数 $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$

例3：伽利略变换：惯性坐标系$(x,t)$变为另一个相对速度$v$的坐标系$(x',t')$ ： $$\begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases}$$ 为映射 $G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, 其中 $\mathbb{R}^2$ 为时间轴与空间轴的直积 $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x$

例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用: $$\begin{cases} x'= \frac{x-vt}{ \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\frac{v}{c^2})x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases}$$ 其中 $c$ 为光速，变换 $L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$。

例7：泛函：定义在函数上的函数。

例10：$n$质点系的构形空间

例12：$n$质点系的相空间

若有两映射 $f: X \rightarrow Y$ 与 $g: Y \rightarrow Z$, 且 $g$ 定义在 $f$ 的值域上，则可用公式 $$(g \circ f) := g(f(x))$$ 确定 $X$ 上的新映射 $$g \circ f : X \rightarrow Z$$ 此映射 $g \circ f$ 叫做映射 f 与 映射 g 的复合映射

复合映射满足结合律： $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

$f^n := f_n \circ … \circ f_1$ 例子： 正数 $a$ 的平方根可按公式 $$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + frac{a}{x_n})$$ 用逐次逼近法来进行近似计算，前一步得到的值作为后一步的自变量值的计算方法叫做迭代法

显然不满足交换律：$g \circ f \neq f \circ g$

恒等映射： 若映射$f: X \rightarrow X$ 把 $X$ 的每个元映成自身, 那么把 $f$ 记做 $e_X$, 并称为恒等映射

引理： $$(g \circ f = e_X) \Rightarrow (g是满射)\land(f是单射)$$

命题：映射 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 是互逆的双射当且仅当 $g \circ f = e_X$ 且 $f \circ g = e_Y$

从现代观点来看，前面的函数定义还不能说是一个定义，因为它利用了与函数等价的概念：对应。这里将介绍怎样用集合论语言给出函数定义。

序关系：偏序关系如果还满足条件 $\forall a \forall b((a\mathcal{R} b)\lor(b\mathcal{R} a)),即集$X$中的任二元素均能比较，则把关系$\mathcal{R}$叫做序关系

函数图像：设 $\varGamma$ 是直积 $XxY$ 的子集，它由一切形如 $(x,f(x))$的元素组成，因而 $$\varGamma := {(x,y) \in XxY|y=f(x)}$$ .我们则称这个子集 $\varGamma$ 是在原来意义下函数 $f: X \rightarrow Y$ 的图像