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--- public:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2019/03/24 16:26] – oakfire
+++ public:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2024/06/02 15:55] (当前版本) – [2. 公理化集合论] oakfire
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 =====  $\S1$  逻辑符号 =====
 ==== 1. 关系与括号 ====
-  *  $\lnot$  “非”,  $\land$  “与”,  $\lor$  “或”,  $\Rightarrow$  “蕴含”,  $\Leftrightarrow$  “等价”
+  *  $\lnot$  “非”;　 $\land$  “与”;　 $\lor$  “或”;　 $\Rightarrow$  “蕴含”;　 $\Leftrightarrow$  “等价”
 ==== 2. 关于证明的注记 ====
     * 典型的数学论断具有  $A \Rightarrow B$  这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语
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     * 设有两集合  $X$  与  $Y$ , 如有规律  $f$ , 对于每个元素  $x \in X$  ,都有一元素  $y \in Y$  与之<wrap em>对应</wrap>，则说有一个定义在  $X$  上而在  $Y$  中取值的**函数**
     * 通常也叫 //映射、变换、射、算子、泛函//
-    * 记为  $f: X \rightarrow Y$  或 $ X \rightarrow^f Y.  $或$  y=f(x) $
+    * 记为  $f: X \rightarrow Y$  或 $ X \xrightarrow{f} Y.  $或$  y=f(x) $
     * 函数的值集（值域）：  $f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\}$
-    * 概念：//函数的出发域、函数的到达域//
+    * 概念：函数的**出发域**、函数的**到达域**
     * 例1：球体积公式  $V= \frac{4}{3}\pi r^3$  为在正实数集  $\mathbb{R}_+$  上的函数  $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$
     * 例3：伽利略变换：惯性坐标系 $(x,t)$ 变为另一个相对速度 $v$ 的坐标系 $(x',t')$  ：  $\begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases}$  为映射  $G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ , 其中  $\mathbb{R}^2$  为时间轴与空间轴的直积  $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x$
     * 例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用:  $\begin{cases} x'= \displaystyle\frac{x-vt}{ \displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\displaystyle\frac{v}{c^2})x}{\displaystyle\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases}$  其中  $c$  为光速，变换  $L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 。
-    * 例7：泛函：定义在函数上的函数。
+    * 例7：**泛函**：定义在函数上的函数。
     * 例10： $n$ 质点系的构形空间
     * 例12： $n$ 质点系的相空间
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       * 在实数轴上，任何一对实数都能讨论  $\preccurlyeq$  关系。
     * <wrap em>函数</wrap>： 如果满足  $(x\mathcal{R}y_1)\land(x\mathcal{R}y_2) \Rightarrow (y_1=y_2)$ ， 就说关系  $\mathcal{R}$  是一个函数关系，即**函数**。
-      * 常用符号 $f$ 来表示函数，书写为  $y=f(x)$  或 $ X \rightarrow ^f Y. $
+      * 常用符号 $f$ 来表示函数，书写为  $y=f(x)$  或 $ x \xrightarrow{f} y. $
-    * **函数图像**：设  $\varGamma$  是直积  $X\times Y$  的子集，它由一切形如  $(x,f(x))$ 的元素组成，因而  $\varGamma := {(x,y) \in X\times Y|y=f(x)}$ .我们则称这个子集  $\varGamma$  是在原来意义下函数  $f: X \rightarrow Y$  的**图像**
+    * **函数图像**：设  $\varGamma$  是直积  $X\times Y$  的子集，它由一切形如  $(x,f(x))$ 的元素组成，因而 \[ \varGamma := \{(x,y) \in X\times Y|y=f(x)\}\].我们则称这个子集  $\varGamma$  是在原来意义下函数  $f: X \rightarrow Y$  的**图像**
 =====  $\S4$  某些补充 =====
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   * **等势**： 设  $X,Y$  为两集合，如果存在  $X$  到  $Y$  的双射，即每个  $x\in X$  ,有不同的  $y \in Y$  与之对应，并且每个  $y$  必是  $X$  中某元素的对应元素，则称  $X$  与  $Y$  等势
   * 集的**类**：等势的  $X,Y$  显然是等价关系，即  $X \thicksim Y$ ,彼此等价的集合有相同数量的元素（等势), 彼此等价的集合构成一个**类**，不同类中的集合所含元素数量不同。势这个概念意义在于方便比较集合元素数量。
-  * **势/基数**：集  $X$  所在的**类**叫集  $X$  的势，或叫  $X$  的基数， 记作  $\textrm{card}X$ ，方便比较集合元素数量.等势力记作 \( \text{card}X = \textrm{card}Y \)
+  * **势/基数**：集  $X$  所在的**类**叫集  $X$  的势，或叫  $X$  的基数， 记作  $\textrm{card}X$ ，方便比较集合元素数量.等势力记作 \( \textrm{card } X = \textrm{card }Y \)
-  * 如果集合  $X$  与集合  $Y$  的某个子集等势，则有 \( \text{card}X \leqslant \text{card}Y \), 即 \[ (\text{card}X \leqslant \text{card}Y):=(\exists Z \subset Y|\text{card}X = \text{card}Z) \]
+  * 如果集合  $X$  与集合  $Y$  的某个子集等势，则有 \( \textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y \), 即 \[ (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y):=(\exists Z \subset Y|\textrm{card }X = \textrm{card }Z) \]
-  * 如果  $X \subset Y$ ,则显然有 \(\text{card}X \leqslant \text{card}Y\) .然而 $X \subset Y$  也可能有 \(\text{card}Y \leqslant \text{card}X\).
+  * 如果  $X \subset Y$ ,则显然有 \(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y\) .然而 $X \subset Y$  也可能有 \(\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }X\).
     * 例如 对应  $x \mapsto \frac{x}{1-|x|}$  是数轴  $\mathbb R$  的开区间  $-1 < x < 1$  到整个数轴的双射。
     * 一集合能与其自己的部分等势，是这个集合为无穷集的特征标志。不与任何真子集等势则叫有穷集。
   * 集合势的不等关系有下列性质：
-    - \( (\text{card}X \leqslant \text{card}Y ) \land (\text{card}Y \leqslant \text{card}Z) => (\text{card}X \leqslant \text{card}Z) \) (显然）
+    - \( (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y ) \land (\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }Z) \Rightarrow (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Z) \) (显然）
-    - \( (\text{card}X \leqslant \text{card}Y ) \land (\text{card}X \leqslant \text{card}Y) => (\text{card}X = \text{card}Y) \)(施略德-伯恩斯坦定理）
+    - \( (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y ) \land (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y) \Rightarrow (\textrm{card }X = \textrm{card }Y) \)(施略德-伯恩斯坦定理）
-    - \( \forall X \forall Y(\text{card}X \leqslant \text{card}Y) \lor (\text{card}Y \leqslant \text{card}X) \)(康托尔定理）
+    - \( \forall X \forall Y(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y) \lor (\textrm{card }Y \leqslant \textrm{card }X) \)(康托尔定理）
   * 因此基数类是有线性序的。
-  *  $X$ 的势小于 $Y$ 的势的定义：\[ (\text{card}X < \text{card}Y) := (\text{card}X \leqslant \text{card}Y)\land(\text{card}X \lneq \text{card}Y) \]
+  *  $X$ 的势小于 $Y$ 的势的定义：\[ (\textrm{card }X < \textrm{card }Y) := (\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }Y)\land(\textrm{card }X \neq \textrm{card }Y) \]
-  * 用  $\varnothing$  记空集，用  $\mathcal{P}(X)$ 记  $X$  的一切子集构成的集，康托尔发现以下定理:\[ \text{card}X < \text{card}\mathcal{P}(X)\]
+  * 用  $\varnothing$  记空集，用  $\mathcal{P}(X)$ 记  $X$  的一切子集构成的集，康托尔发现以下定理:\[ \textrm{card }X < \textrm{card }\mathcal{P}(X)\]
-    * 证明开始 $\blacktriangleleft$ ：对于 空集  $\varnothing$  显然成立。非  $\varnothing$  时， \mathcal{P}(X) 含有  $X$  的一切单元素子集，所以 \(\text{card}X \leqslant \text{card}Y \);
+    * 证明开始 $\blacktriangleleft$ ：对于 空集  $\varnothing$  显然成立。非  $\varnothing$  时， \(\mathcal{P}(X)\) 含有  $X$  的一切单元素子集，所以 \(\textrm{card }X \leqslant \textrm{card }\mathcal{P}(X) \);
-    * 假设 \( \text{card}X = \text{card}\mathcal{P}(X) \), 则存在双射  $f: X \to \mathcal{P}(X)$ . 考虑集合 $A = \{ x \in X|x \notin f(x)\}$
+    * 假设 \( \textrm{card }X = \textrm{card }\mathcal{P}(X) \), 则存在双射  $f: X \to \mathcal{P}(X)$ . 考虑集合 $A = \{ x \in X|x \notin f(x)\}$
-    * \( (A \in \mathcal{P}(X)) => \exists (a\in X) \land (f(a) = A) \), 此时这个元素  $a$  既不能有  $a \in A$  又不能有  $a \notin A$ , 与排中律矛盾
+    * \( (A \in \mathcal{P}(X)) \Rightarrow \exists (a\in X) \land (f(a) = A) \), 此时这个元素  $a$  既不能有  $a \in A$  又不能有  $a \notin A$ , 与排中律矛盾
-    *  所以 \(\text{card}X \neq \text{card}\mathcal{P}(X) \)
+    *  所以 \(\textrm{card }X \neq \textrm{card }\mathcal{P}(X) \)
     *  $\blacktriangleright$ 证明结束
   * 特别地，这个定理说明，如果无穷集存在，那么“无穷”与“无穷”也是有势的区别的。
 ==== 2. 公理化集合论 ====
+  - **容积公理** 集合  $A$  和集合  $B$  相等，当且仅当它们有共同的元素
+  - **分出公理** 对任何集合  $A$  及性质  $P$ , 有这样的集  $B$ , 它所含的元素，是且仅是  $A$  中的那些具有性质  $P$  的元素
+    * 推论：任何集合 A 都拥有空子集  $\varnothing_X = \{ x \in X| x \neq x \}$ ,再根据容积公理，推论空集是唯一的，记作符号  $\varnothing$
+  - **并公理** 对于由集合构成的任何集合  $M$ , 存在集合  $\cup M$ , 成为集合  $M$  的并， 它的元素恰好是  $M$  中所含元素的元素。
+    * 由并公理及分出公理，可定义集  $M$  的**交**为集合  $\cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\}$
+  - **对公理** 对于任意集合  $X,Y$ , 存在一个集合  $Z$ , 使  $X$  与  $Y$  是它仅有的元素。
+    *  $Z$  即  $X$  与  $Y$  的无序对。
+  - **子集之集的公理** 对于任意集合  $X$ , 存在集合  $\mathcal{P}(X)$ , 它的元素恰好就是  $X$  的一切子集
+    * 由此公理，可定义  $X \times Y$ 的直积：  $X \times Y  := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x,y)\land(x\in X)\land(y\in Y)\}$
+    * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论
+  - **无穷公理** 归纳集存在
+    * 集合  $X$  的后续集  $X^+$  定义:  $X^+ = X \cup \{X\}$  ;就是在  $X$ 上添加一个单元素集  $\{X\}$ ;
+    * **归纳集**：如果一个集合包含空集以及其中任何一个集的后续集，则称为归纳集
+    * 根据无穷公理与公理1.~4.，可建立**自然数集**  $\mathbb{N}_0$  的标准模型：定义为一切归纳集的交，即最小归纳集。  $\mathbb{N}_0$ 的元素为集合 $\varnothing,\quad \varnothing^+ = \varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\},\quad \{\varnothing\}^+ =  \{\varnothing\} \cup \{\{\varnothing\}\},\quad \dots,$ 它们就是我们用符号  $0,1,2,\dots$  表示并称之为自然数的那些东西的模型
+  - **置换公理** 设  $\mathcal{F}(x,y)$  是这样的一个命题，使得对于集  $X$  中的任何  $x_0$ ,存在唯一的对象  $y_0$ , 使得  $\mathcal{F}(x_0,y_0)$ 成立，这时，存在  $x\in X$ , 使得  $\mathcal{F}(x,y)$  成立的那些  $y$  能组成集合。
+    * 此公理在建立分析学时并没有使用
+    * 公理1.~7.组成了集合论公理系统，即著名的**策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel)公理系统**
+  - **选择公理** 对于任意不空集的族，存在一集合  $C$ ,使对所给族中的每个集合  $X$ , 集合  $X\cap C$  恰好只含一个元素
+    * 换句话说，恰好可从族中的每个集中选出一个代表，由它们组成集合 $C$
+    * 此公理（即数学中著名的梅策洛公理）与公理1.~7.独立，在数学分析中经常用到。
+==== 3. 数学命题的逻辑结构与写法 ====
+  * 优先级： $\in,=$  最优先；  $\exists,\forall$  其次；  $\lnot,\land,\lor,\Rightarrow$  最后。
+  *  $\mathbb{R}$  表示实数集
+  * 含有量词的命题的否定： $\lnot \exists xP(x) \Leftrightarrow \forall x\lnot P(x)$   $\lnot \forall xP(x) \Leftrightarrow \exists x\lnot P(x)$