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| public:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2024/06/02 15:29] – [1. 函数（映射）的概念] oakfire | public:math:mathematical_analysis:chapter_1 [2024/06/02 15:55] (当前版本) – [2. 公理化集合论] oakfire | ||
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| 行 82: | 行 82: | ||
| * 在实数轴上，任何一对实数都能讨论 ≼ 关系。 | * 在实数轴上，任何一对实数都能讨论 ≼ 关系。 | ||
| * <wrap em> | * <wrap em> | ||
| - | * 常用符号f来表示函数，书写为 y=f(x) 或 $ X \rightarrow ^f Y. $ | + | * 常用符号f来表示函数，书写为 y=f(x) 或 $ x \xrightarrow{f} y. $ |
| - | * **函数图像**：设 Γ 是直积 X×Y 的子集，它由一切形如 (x,f(x))的元素组成，因而 Γ:=(x,y)∈X×Y|y=f(x).我们则称这个子集 Γ 是在原来意义下函数 f:X→Y 的**图像** | + | * **函数图像**：设 Γ 是直积 X×Y 的子集，它由一切形如 (x,f(x))的元素组成，因而 \[ \varGamma := \{(x,y) \in X\times Y|y=f(x)\}\].我们则称这个子集 Γ 是在原来意义下函数 f:X→Y 的**图像** |
| ===== §4 某些补充 ===== | ===== §4 某些补充 ===== | ||
| 行 112: | 行 112: | ||
| * 推论：任何集合 A 都拥有空子集 ∅X={x∈X|x≠x}, | * 推论：任何集合 A 都拥有空子集 ∅X={x∈X|x≠x}, | ||
| - **并公理** 对于由集合构成的任何集合 M, 存在集合 ∪M, 成为集合 M 的并， 它的元素恰好是 M 中所含元素的元素。 | - **并公理** 对于由集合构成的任何集合 M, 存在集合 ∪M, 成为集合 M 的并， 它的元素恰好是 M 中所含元素的元素。 | ||
| - | * 由并公理及分出公理，可定义集 M 的**交**为集合 \( \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\} \) | + | * 由并公理及分出公理，可定义集 M 的**交**为集合 \[ \cap M := \{ x \in \cup M|\forall X((X \in M) \Rightarrow (x \in X)\} \] |
| - **对公理** 对于任意集合 X,Y, 存在一个集合 Z, 使 X 与 Y 是它仅有的元素。 | - **对公理** 对于任意集合 X,Y, 存在一个集合 Z, 使 X 与 Y 是它仅有的元素。 | ||
| * Z 即 X 与 Y 的无序对。 | * Z 即 X 与 Y 的无序对。 | ||
| - **子集之集的公理** 对于任意集合 X, 存在集合 P(X), | - **子集之集的公理** 对于任意集合 X, 存在集合 P(X), | ||
| - | * 由此公理，可定义 X×Y的直积： \(X \times Y := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x, | + | * 由此公理，可定义 X×Y的直积： \[X \times Y := \{ p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)\cup \mathcal{P}(Y))| p=(x, |
| * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论 | * 公理1~5限制了形成新集的可能。可推论**不存在所有集之“集”**——这样可规避罗素悖论 | ||
| - **无穷公理** 归纳集存在 | - **无穷公理** 归纳集存在 | ||
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