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--- public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2020/09/09 12:04] – [1. 自然数与数学归纳原理] oakfire
+++ public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 17:14] (当前版本) – [2. 连续统的势] oakfire
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   * **定义3**： 既有上界又有下界的集合叫做**有界集**
   * **定义4**:  对于  $X\subset\mathbb{R},a\in X$ , 如果 $\forall x\in X(x\leqslant a)$ ，则称  $a$  为  $X$ 的**最大元**或**极大元**，（反之则是**最小元**或**极小元**）；形式写法为 $(a=\max X):=(a\in X\land \forall x\in X(x\leqslant a)),\\ (a=\min X):=(a\in X\land \forall x\in X(a\leqslant x))$   $\max X$ 读作“ $X$  的极大元”，有时也用  $\max_{x\in X}x$  表示; 有界集不一定有极大元（极小元），比如  $X=\{x\in\mathbb{R}|0\leqslant x < 1\}$  有极小元0，但没有极大元。
-  * **定义5**： 集合  $X\subset\mathbb{R}$  的上界中的最小者，叫做  $X$  的**上确界**，写做  $\sup X$  或 \(\sup_{x\in X} x\),即 $(s=\sup X) := \forall x \in X((x\leqslant s)\land(\forall s' <s \exists x'\in X(s'<x')))$
+  * **定义5**： 集合  $X\subset\mathbb{R}$  的上界中的最小者，叫做  $X$  的**上确界**，写做  $\sup X$  或 \(\sup\limits_{x\in X} x\)，即 $(s=\sup X) := \forall x \in X((x\leqslant s)\land(\forall s' <s \exists x'\in X(s'<x')))$
-  * **定义6**: 与**定义5**类似，得到**下确界**概念，写做   $\inf X$  或 \(\inf_{x\in X} x\),即 $(i=\inf X) := \forall x \in X((i\leqslant x)\land(\forall i <i' \exists x'\in X(x'<i')))$
+  * **定义6**: 与**定义5**类似，得到**下确界**概念，写做   $\inf X$  或 \(\inf\limits_{x\in X} x\)，即 $(i=\inf X) := \forall x \in X((i\leqslant x)\land(\forall i <i' \exists x'\in X(x'<i')))$
   * **引理（上确界原理）** 实数集的任何非空有上界的子集有唯一的上确界
   * **引理** 类似的，有  $(X \textrm{下有界})\Rightarrow(\exists!\inf X)$
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   * 对于任何  $n\in\mathbb{N}$ , 集合  $\{x\in\mathbb{N}|n<x\}$  有极小元，并且  $\min\{x\in\mathbb{N}|n<x\}=n+1$
   *  $(m\in\mathbb{N})\land(n\in\mathbb{N})\land(n<m)\Rightarrow(n+1\leqslant m)$
-  *
+  * 数  $(n+1)\in\mathbb{N}$  是  $\mathbb{N}$  中紧跟着  $n$  的一个自然数，亦即，当  $n\in\mathbb{N}$  时，没有任何自然数  $x$  能满足条件  $n<x<n+1$
+  * 如果  $n\in\mathbb{N} \land n\neq 1$ , 那么数  $(n-1) \in\mathbb{N}$ ,并且是紧挨着  $n$  之前的自然数.
+  * 自然数集的任何非空子集有最小元
+==== 2. 有理数与无理数 ====
+  * **定义3**： 自然数集、自然数的相反数之集，与零的并集，叫做**整数集**，记作  $\mathbb{Z}$ .
+  * **素数**: 设  $p\in\mathbb{N}, p\neq 1$ , 如果  $\mathbb{N}$  中除 1 和  $p$  之外，不再有因数，我们就把  $p$  叫做**素数**
+  * **算术基本定理**：每个自然数能唯一地（不计因数顺序的区别）表示成乘积的形式: $n=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k$  其中  $p_1,p_2,\ldots,p_k$  都是素数
+  * **互素数**: 数  $m,n\in\mathbb{Z}$  除 1,-1 之外没有公因数，则称  $m,n$  互素
+  * **定义4**: 形如  $m\cdot n^{-1}$  的数叫**有理数**，其中  $m,n\in\mathbb{Z}$ , 有理数记作  $\mathbb{Q}$
+  * **定义5**: 不是有理数的实数叫**无理数**
+  * 比如  $\sqrt{2}$  是无理数，证明见书
+  * 无理数集的势大于有理数集的势，而与实数之集的势相同。即几乎所有的实数都是无理数。
+  * 无理数可分为**代数无理数**与**超越数**。一个实数，如果它是某个有理系数（或等价得说成是整系数）代数方程 $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}=0$  的根，就叫做**代数数**，反之，就叫**超越数**。
+  * 代数数集的势与有理数集的势相同
+  * 超越数集的势与实数集的势相同
+  *  $\pi$  是超越数;
+  * 希尔伯特((D.Hilbert 1862-1943 德国数学家，在1900年巴黎数学国际会议上总结提出了23个数学领域问题，叫做希尔伯特问题))第七问题:  $\alpha^{\beta}$  为超越数，其中  $\alpha$  是个代数数  $(\alpha \neq 0)\land(\alpha\neq 1)$ , $\beta$  为代数无理数,例如  $\alpha = 2, \beta = \sqrt{2}$ , 即  $2^{\sqrt{2}}$  为超越数
+==== 3. 阿基米德原理 ====
+  * 自然数集的任何非空有界集中有最大元
+  * 自然数集没有上界
+  * 整数集的任何上有界非空子集有极大元
+  * 自然数集的任何非空有界子集有极小元
+  * 整数集既没有上界又没有下界
+  * **阿基米德((Archimedes, bce.287-212 天才希腊学者))原理**: 如果  $h$  是任意一个固定的正数，那么，对于任何实数  $x$ ，必能找到唯一的整数  $k$ , 使得  $(k-1)h \leqslant x < kh$
+  * 对于任意的正数  $\varepsilon$ , 存在着自然数  $n$  使得  $0<\frac{1}{n} <\varepsilon$
+  * 如果  $x\in\mathbb{R},x\geqslant 0$ ，且对于任何  $n\in\mathbb{N}$  有  $x<\frac{1}{n}$ , 那么  $x=0$
+  * 对于满足  $a<b$  的任意数  $a,b\in\mathbb{R}$ ，存在有理数  $r\in\mathbb{Q}$ , 使得  $a<r<b$
+  * 对于任何  $x\in\mathbb{R}$ ,存在唯一的整数  $k\in\mathbb{Z}$ ,使得  $k\leqslant x < k+1$ 。那么这个数  $k$  叫做  $x$ 的**整数部分**，记作 $[x]$ ;  $\{x\}=x-[x]$  叫做  $x$  的**小数部分**，即  $x=[x]+\{x\}$ , 且  $\{x\}>0$
+==== 4. 实数集的几何解释与实数计算方面的一些问题 ====
+=== a. 数轴与实数的对应 ===
+  * 开区间： $]a,b[\; := \{x\in\mathbb{R}|a<x<b\}$
+  * 闭区间： $[a,b] := \{x\in\mathbb{R}|a\leqslant x\leqslant b\}$
+  * 含端点  $b$  的半开区间： $]a,b] := \{x\in\mathbb{R}|a<x\leqslant b\}$
+  * 含端点  $a$  的半开区间： $[a,b[\; := \{x\in\mathbb{R}|a\leqslant x<b\}$
+  * **定义6**：开区间、闭区间、半开区间都叫做**数区间**或简称**区间**，确定区间的数叫做**端点**
+  * 无界区间：无界集，例如： $]a,+\infty[\; :=\{x\in\mathbb{R}|a<x\}$
+  * **定义7**：称含有  $x\in\mathbb{R}$  的开区间为  $x$  的一个**邻域**
+  * 数  $x$  的**模**或**绝对值**,记作 $|x|$ : $|x|=\left\{ \begin{array}{ll} \;\;\; x,\quad \textrm{when }x>0,\\ \;\;\; 0,\quad \textrm{when }x=0,\\-x,\quad \textrm{when }x<0.  \end{array} \right.$
+  * **定义8**：称  $|x-y|$  为  $x,y\in\mathbb{R}$  之间的距离。
+  * 三角形不等式： $|x-y|\leqslant |x-z|+|z-y|$ ; 由此也可推  $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
+=== b. 用逼近序列给出数 ===
+  * 本章节想解释一下近似计算的必然性与必要性
+  * **定义9**：设  $x$  是某个量的精确值， $\tilde{x}$  是该量的已知近似值,就把 $\Delta(\tilde{x}) := |x-\tilde{x}|,\quad \delta(\tilde{x}) := \frac{\Delta(\tilde{x})}{|\tilde{x}|}$  分别叫做近似值  $\tilde{x}$  的**绝对误差**与**相对误差**。当  $\tilde{x}=0$  时，相对误差没有定义。
+  * 命题(1)： $\Delta(\tilde{x}+\tilde{y}) := |(x+y)-(\tilde{x}+\tilde{y})| \leqslant \Delta(\tilde{x}) + \Delta(\tilde{y})$
+  * 命题(2)： $\Delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y}) := |x\cdot y - \tilde{x}\cdot\tilde{y}| \leqslant |\tilde{x}|\Delta(\tilde{y}) + |\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})  + \Delta(\tilde{x})\cdot\Delta(\tilde{y})$
+  * 命题(3)：设  $y\neq 0, \tilde{y}\neq 0, \delta(\tilde{y})=\frac{\Delta(\tilde{y})}{|\tilde{y}|}<1$   那么  $\Delta\left( \frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right):=\left| \frac{x}{y}-\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right| \leqslant \frac{|\tilde{x}|\Delta(\tilde{y})+|\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})}{\tilde{y}^2}\cdot\frac{1}{1-\delta(\tilde{y})}$
+  * 相对误差的估计(1): $\delta(\tilde{x}+\tilde{y})\leqslant \frac{\Delta(\tilde{x})+\Delta(\tilde{y})}{|\tilde{x}+\tilde{y}|}$   $\delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y})\leqslant \delta(\tilde{x}) + \delta(\tilde{y}) + \delta(\tilde{x})\cdot\delta(\tilde{y})$   $\delta(\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}) \leqslant \frac{\delta(\tilde{x})+\delta(\tilde{y})}{1-\delta(\tilde{y})}$
+  * 当近似值足够好时，有  $\Delta(\tilde{x})\cdot\Delta(\tilde{y}) \approx 0, \delta(\tilde{x})\cdot\delta(\tilde{y}) \approx 0, 1-\delta(\tilde{y})\approx 1$ , 所以可得以下简化形式（但不精确）:  $\Delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y}) \leqslant |\tilde{x}|\Delta(\tilde{y}) + |\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})$   $\Delta\left( \frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right) \leqslant \frac{|\tilde{x}|\Delta(\tilde{y})+|\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})}{\tilde{y}^2}$   $\delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y})\leqslant \delta(\tilde{x}) + \delta(\tilde{y})$   $\delta(\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}) \leqslant \delta(\tilde{x})+\delta(\tilde{y})$
+=== c. 位置计数法 ===
+  * 引理：如果固定数  $q>1$ ，那么，对于任何正数  $x\in\mathbb{R}$ ，必有唯一的整数  $k\in\mathbb{Z}$ ，使得  $q^{k-1}\leqslant x < q^k$
+  * **定义10**：由引理可得  $q^p\leqslant x < q^{p+1}$ , 其中整数  $p$  叫做数  $x$  关于记数法的基  $q$  的阶或(当把  $q$  固定时)简称为数  $x$  的阶
+  * **实数的  $q$  进位记数系统**（具体看书的近似推导）
+=====  $\S$ 3. 与实数集的完备性有关的基本引理 =====
+==== 1. 闭区间套引理（柯西-康托尔原理） ====
+  * **定义1**：以自然数为变量的函数  $f:\mathbb{N}\to X$  叫做**序列**，完整说法为**集合  $X$  中的元素序列**
+  * **定义2**：设  $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$  是集合的序列，如果  $X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots$ , 即  $\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})$ , 那么，就说它是**套列集**
+  * 引理：对于任何闭区间套  $I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots$ , 存在一点  $c\in\mathbb{R}$ ,属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何  $\varepsilon > 0$ , 在序列中能找到闭区间  $I_k$ ，使其长  $|I_k|<\varepsilon$ ，那么  $c$  就是所有闭区间的唯一公共点
+==== 2. 有限覆盖引理 ====
+  * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((博雷尔 Borel 1871-1956, 勒贝格 A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理
+  * **定义 3**：设  $S = \{X\}$  是由一些集合  $X$  构成的集族。 如果  $Y \subset \bigcup\limits_{X \in S} X$  (即集合  $Y$  的每个元素  $y$ , 至少含在集族  $S$  中的一个集合  $X$  中），就说  $S$  **覆盖** 集合  $Y$ .
+  * 引理：在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在着覆盖这一闭区间的有限子族
+==== 3. 极限点引理 ====
+  * 又名 波尔察诺-魏尔斯特拉斯((波尔察诺 B.Bolzano 1781-1848 捷克数学家与哲学家. 魏尔斯特拉斯 K.Weierstrass 1815-1897 德国数学家，关注数学分析的逻辑基础))原理
+  * **定义 4**：假如点  $p \in \mathbb{R}$  的任何**邻域**都包含  $X \subset \mathbb{R}$  的一个无穷子集，就称点  $p \in \mathbb{R}$  为集合  $X$  的**极限点**
+  * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点
+=====  $\S$ 4. 可数集与不可数集 =====
+==== 1. 可数集 ====
+  * **定义 1**： 如果集合  $X$  与自然数集  $\mathbb{N}$  等势， 即  $\textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，就称  $X$  为**可数集**
+  * 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集
+  * 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集
+  * 推论 1):  $\textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}$
+  * 推论 2):  $\textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，即可数集的直积也是可数集
+  * 推论 3):  $\textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，集有理数集是可数的
+  * 推论 4): 代数数集是可数集
+==== 2. 连续统的势 ====
+  * **定义 2**: 实数集  $\mathbb{R}$  也叫做**数的连续统**，而它的势叫做**连续统的势**
+  * **定理（康托尔）**:  $\textrm{card } \mathbb{N} < \textrm{card } \mathbb{R}$
+  * 推论 1):  $\mathbb{Q} \neq \mathbb{R}$  且无理数存在.
+  * 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数
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