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--- public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2020/09/13 10:26] – [1. 自然数与数学归纳原理] oakfire
+++ public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 17:14] (当前版本) – [2. 连续统的势] oakfire
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   * **定义3**： 既有上界又有下界的集合叫做**有界集**
   * **定义4**:  对于 \(X\subset\mathbb{R},a\in X\), 如果\(\forall x\in X(x\leqslant a)\)，则称 \(a\) 为 \(X\)的**最大元**或**极大元**，（反之则是**最小元**或**极小元**）；形式写法为\[(a=\max X):=(a\in X\land \forall x\in X(x\leqslant a)),\\ (a=\min X):=(a\in X\land \forall x\in X(a\leqslant x))\] \(\max X\)读作“\(X\) 的极大元”，有时也用 \(\max_{x\in X}x \) 表示; 有界集不一定有极大元（极小元），比如 \(X=\{x\in\mathbb{R}|0\leqslant x < 1\}\) 有极小元0，但没有极大元。
-  * **定义5**： 集合 \(X\subset\mathbb{R}\) 的上界中的最小者，叫做 \(X\) 的**上确界**，写做 \(\sup X\) 或 \(\sup_{x\in X} x\),即\[(s=\sup X) := \forall x \in X((x\leqslant s)\land(\forall s' <s \exists x'\in X(s'<x')))\]
+  * **定义5**： 集合 \(X\subset\mathbb{R}\) 的上界中的最小者，叫做 \(X\) 的**上确界**，写做 \(\sup X\) 或 \(\sup\limits_{x\in X} x\)，即\[(s=\sup X) := \forall x \in X((x\leqslant s)\land(\forall s' <s \exists x'\in X(s'<x')))\]
-  * **定义6**: 与**定义5**类似，得到**下确界**概念，写做  \(\inf X\) 或 \(\inf_{x\in X} x\),即\[(i=\inf X) := \forall x \in X((i\leqslant x)\land(\forall i <i' \exists x'\in X(x'<i')))\]
+  * **定义6**: 与**定义5**类似，得到**下确界**概念，写做  \(\inf X\) 或 \(\inf\limits_{x\in X} x\)，即\[(i=\inf X) := \forall x \in X((i\leqslant x)\land(\forall i <i' \exists x'\in X(x'<i')))\]
   * **引理（上确界原理）** 实数集的任何非空有上界的子集有唯一的上确界
   * **引理** 类似的，有 \((X \textrm{下有界})\Rightarrow(\exists!\inf X)\)
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   * \((m\in\mathbb{N})\land(n\in\mathbb{N})\land(n<m)\Rightarrow(n+1\leqslant m)\)
   * 数 \((n+1)\in\mathbb{N} \) 是 \(\mathbb{N}\) 中紧跟着 \(n\) 的一个自然数，亦即，当 \(n\in\mathbb{N}\) 时，没有任何自然数 \(x\) 能满足条件 \( n<x<n+1 \)
-  * 如果 \(n\in\mathbb{N},n\neq 1 \), 那么数 \((n-1) \in\mathbb{N}\),并且是紧挨着 \(n\) 之前的自然数.
+  * 如果 \(n\in\mathbb{N} \land n\neq 1 \), 那么数 \((n-1) \in\mathbb{N}\),并且是紧挨着 \(n\) 之前的自然数.
   * 自然数集的任何非空子集有最小元
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   * **定义3**： 自然数集、自然数的相反数之集，与零的并集，叫做**整数集**，记作 \(\mathbb{Z}\).
   * **素数**: 设 \(p\in\mathbb{N}, p\neq 1\), 如果 \(\mathbb{N}\) 中除 1 和 \(p\) 之外，不再有因数，我们就把 \(p\) 叫做**素数**
-  * **算术基本定理**：每个自然数能唯一地（不计因数顺序的区别）表示成乘积的形式:\[ n=p_1\cdot p_2 \cdot \cdots \cdot p_k \] 其中 \(p_1,p_2,\cdots,p_k\) 都是素数
+  * **算术基本定理**：每个自然数能唯一地（不计因数顺序的区别）表示成乘积的形式:\[ n=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k \] 其中 \(p_1,p_2,\ldots,p_k\) 都是素数
   * **互素数**: 数 \(m,n\in\mathbb{Z}\) 除 1,-1 之外没有公因数，则称 \(m,n\) 互素
+  * **定义4**: 形如 \(m\cdot n^{-1}\) 的数叫**有理数**，其中 \(m,n\in\mathbb{Z}\), 有理数记作 \(\mathbb{Q}\)
+  * **定义5**: 不是有理数的实数叫**无理数**
+  * 比如 \(\sqrt{2}\) 是无理数，证明见书
+  * 无理数集的势大于有理数集的势，而与实数之集的势相同。即几乎所有的实数都是无理数。
+  * 无理数可分为**代数无理数**与**超越数**。一个实数，如果它是某个有理系数（或等价得说成是整系数）代数方程\[a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}=0\] 的根，就叫做**代数数**，反之，就叫**超越数**。
+  * 代数数集的势与有理数集的势相同
+  * 超越数集的势与实数集的势相同
+  * \(\pi\) 是超越数;
+  * 希尔伯特((D.Hilbert 1862-1943 德国数学家，在1900年巴黎数学国际会议上总结提出了23个数学领域问题，叫做希尔伯特问题))第七问题: \(\alpha^{\beta}\) 为超越数，其中 \(\alpha\) 是个代数数 \((\alpha \neq 0)\land(\alpha\neq 1)\),\(\beta\) 为代数无理数,例如 \(\alpha = 2, \beta = \sqrt{2}\), 即 \(2^{\sqrt{2}}\) 为超越数
+==== 3. 阿基米德原理 ====
+  * 自然数集的任何非空有界集中有最大元
+  * 自然数集没有上界
+  * 整数集的任何上有界非空子集有极大元
+  * 自然数集的任何非空有界子集有极小元
+  * 整数集既没有上界又没有下界
+  * **阿基米德((Archimedes, bce.287-212 天才希腊学者))原理**: 如果 \(h\) 是任意一个固定的正数，那么，对于任何实数 \(x\)，必能找到唯一的整数 \(k\), 使得 \((k-1)h \leqslant x < kh \)
+  * 对于任意的正数 \(\varepsilon\), 存在着自然数 \(n\) 使得 \( 0<\frac{1}{n} <\varepsilon\)
+  * 如果 \(x\in\mathbb{R},x\geqslant 0\)，且对于任何 \(n\in\mathbb{N}\) 有 \(x<\frac{1}{n}\), 那么 \( x=0 \)
+  * 对于满足 \(a<b\) 的任意数 \(a,b\in\mathbb{R}\)，存在有理数 \(r\in\mathbb{Q}\), 使得 \(a<r<b\)
+  * 对于任何 \(x\in\mathbb{R}\),存在唯一的整数 \(k\in\mathbb{Z}\),使得 \( k\leqslant x < k+1\)。那么这个数 \(k\) 叫做 \(x\)的**整数部分**，记作\([x]\); \(\{x\}=x-[x] \) 叫做 \(x\) 的**小数部分**，即 \(x=[x]+\{x\}\), 且 \(\{x\}>0\)
+==== 4. 实数集的几何解释与实数计算方面的一些问题 ====
+=== a. 数轴与实数的对应 ===
+  * 开区间：\(]a,b[\; := \{x\in\mathbb{R}|a<x<b\}\)
+  * 闭区间：\([a,b] := \{x\in\mathbb{R}|a\leqslant x\leqslant b\}\)
+  * 含端点 \(b\) 的半开区间：\(]a,b] := \{x\in\mathbb{R}|a<x\leqslant b\}\)
+  * 含端点 \(a\) 的半开区间：\([a,b[\; := \{x\in\mathbb{R}|a\leqslant x<b\}\)
+  * **定义6**：开区间、闭区间、半开区间都叫做**数区间**或简称**区间**，确定区间的数叫做**端点**
+  * 无界区间：无界集，例如：\(]a,+\infty[\; :=\{x\in\mathbb{R}|a<x\}\)
+  * **定义7**：称含有 \(x\in\mathbb{R}\) 的开区间为 \(x\) 的一个**邻域**
+  * 数 \(x\) 的**模**或**绝对值**,记作\(|x|\):\[|x|=\left\{ \begin{array}{ll} \;\;\; x,\quad \textrm{when }x>0,\\ \;\;\; 0,\quad \textrm{when }x=0,\\-x,\quad \textrm{when }x<0.  \end{array} \right. \]
+  * **定义8**：称 \(|x-y|\) 为 \(x,y\in\mathbb{R}\) 之间的距离。
+  * 三角形不等式：\(|x-y|\leqslant |x-z|+|z-y|\); 由此也可推 \(|x+y|\leqslant |x|+|y|\)
+=== b. 用逼近序列给出数 ===
+  * 本章节想解释一下近似计算的必然性与必要性
+  * **定义9**：设 \(x\) 是某个量的精确值，\(\tilde{x}\) 是该量的已知近似值,就把\[\Delta(\tilde{x}) := |x-\tilde{x}|,\quad \delta(\tilde{x}) := \frac{\Delta(\tilde{x})}{|\tilde{x}|}\] 分别叫做近似值 \(\tilde{x}\) 的**绝对误差**与**相对误差**。当 \(\tilde{x}=0\) 时，相对误差没有定义。
+  * 命题(1)：\(\Delta(\tilde{x}+\tilde{y}) := |(x+y)-(\tilde{x}+\tilde{y})| \leqslant \Delta(\tilde{x}) + \Delta(\tilde{y})\)
+  * 命题(2)：\(\Delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y}) := |x\cdot y - \tilde{x}\cdot\tilde{y}| \leqslant |\tilde{x}|\Delta(\tilde{y}) + |\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})  + \Delta(\tilde{x})\cdot\Delta(\tilde{y})\)
+  * 命题(3)：设 \[y\neq 0, \tilde{y}\neq 0, \delta(\tilde{y})=\frac{\Delta(\tilde{y})}{|\tilde{y}|}<1\]  那么 \[ \Delta\left( \frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right):=\left| \frac{x}{y}-\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right| \leqslant \frac{|\tilde{x}|\Delta(\tilde{y})+|\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})}{\tilde{y}^2}\cdot\frac{1}{1-\delta(\tilde{y})} \]
+  * 相对误差的估计(1):\[\delta(\tilde{x}+\tilde{y})\leqslant \frac{\Delta(\tilde{x})+\Delta(\tilde{y})}{|\tilde{x}+\tilde{y}|}\] \[\delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y})\leqslant \delta(\tilde{x}) + \delta(\tilde{y}) + \delta(\tilde{x})\cdot\delta(\tilde{y})\] \[\delta(\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}) \leqslant \frac{\delta(\tilde{x})+\delta(\tilde{y})}{1-\delta(\tilde{y})}\]
+  * 当近似值足够好时，有 \(\Delta(\tilde{x})\cdot\Delta(\tilde{y}) \approx 0, \delta(\tilde{x})\cdot\delta(\tilde{y}) \approx 0, 1-\delta(\tilde{y})\approx 1\), 所以可得以下简化形式（但不精确）: \[\Delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y}) \leqslant |\tilde{x}|\Delta(\tilde{y}) + |\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})\] \[ \Delta\left( \frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right) \leqslant \frac{|\tilde{x}|\Delta(\tilde{y})+|\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})}{\tilde{y}^2}\] \[\delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y})\leqslant \delta(\tilde{x}) + \delta(\tilde{y})\] \[\delta(\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}) \leqslant \delta(\tilde{x})+\delta(\tilde{y})\]
+=== c. 位置计数法 ===
+  * 引理：如果固定数 \(q>1\)，那么，对于任何正数 \(x\in\mathbb{R}\)，必有唯一的整数 \(k\in\mathbb{Z}\)，使得 \[q^{k-1}\leqslant x < q^k\]
+  * **定义10**：由引理可得 \[q^p\leqslant x < q^{p+1}\], 其中整数 \(p\) 叫做数 \(x\) 关于记数法的基 \(q\) 的阶或(当把 \(q\) 固定时)简称为数 \(x\) 的阶
+  * **实数的 \(q\) 进位记数系统**（具体看书的近似推导）
+===== \(\S\)3. 与实数集的完备性有关的基本引理 =====
+==== 1. 闭区间套引理（柯西-康托尔原理） ====
+  * **定义1**：以自然数为变量的函数 \(f:\mathbb{N}\to X\) 叫做**序列**，完整说法为**集合 \(X\) 中的元素序列**
+  * **定义2**：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots \) 是集合的序列，如果 \(X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots \), 即 \(\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})\), 那么，就说它是**套列集**
+  * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \), 存在一点 \(c\in\mathbb{R}\),属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何 \(\varepsilon > 0 \), 在序列中能找到闭区间 \(I_k\)，使其长 \(|I_k|<\varepsilon\)，那么 \(c\) 就是所有闭区间的唯一公共点
+==== 2. 有限覆盖引理 ====
+  * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((博雷尔 Borel 1871-1956, 勒贝格 A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理
+  * **定义 3**：设 \(S = \{X\} \) 是由一些集合 \(X\) 构成的集族。 如果 \( Y \subset \bigcup\limits_{X \in S} X\) (即集合 \(Y\) 的每个元素 \(y\), 至少含在集族 \(S\) 中的一个集合 \(X\) 中），就说 \(S\) **覆盖** 集合 \(Y\).
+  * 引理：在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在着覆盖这一闭区间的有限子族
+==== 3. 极限点引理 ====
+  * 又名 波尔察诺-魏尔斯特拉斯((波尔察诺 B.Bolzano 1781-1848 捷克数学家与哲学家. 魏尔斯特拉斯 K.Weierstrass 1815-1897 德国数学家，关注数学分析的逻辑基础))原理
+  * **定义 4**：假如点 \(p \in \mathbb{R} \) 的任何**邻域**都包含 \( X \subset \mathbb{R} \) 的一个无穷子集，就称点 \(p \in \mathbb{R} \) 为集合 \(X\) 的**极限点**
+  * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点
+===== \(\S\)4. 可数集与不可数集 =====
+==== 1. 可数集 ====
+  * **定义 1**： 如果集合 \(X\) 与自然数集 \(\mathbb{N}\) 等势， 即 \( \textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}\)，就称 \(X\) 为**可数集**
+  * 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集
+  * 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集
+  * 推论 1): \( \textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}\)
+  * 推论 2): \( \textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}\)，即可数集的直积也是可数集
+  * 推论 3): \( \textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}\)，集有理数集是可数的
+  * 推论 4): 代数数集是可数集
+==== 2. 连续统的势 ====
+  * **定义 2**: 实数集 \(\mathbb{R}\) 也叫做**数的连续统**，而它的势叫做**连续统的势**
+  * **定理（康托尔）**: \( \textrm{card } \mathbb{N} < \textrm{card } \mathbb{R}\)
+  * 推论 1): \(\mathbb{Q} \neq \mathbb{R} \) 且无理数存在.
+  * 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数
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