public:math:mathematical_analysis:chapter_2

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public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 16:03] – [3. 完备公理与数集的上（下）确界的存在性] oakfirepublic:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 17:14] (当前版本) – [2. 连续统的势] oakfire
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   * **定义4**:  对于 \(X\subset\mathbb{R},a\in X\), 如果\(\forall x\in X(x\leqslant a)\)，则称 \(a\) 为 \(X\)的**最大元**或**极大元**，（反之则是**最小元**或**极小元**）；形式写法为\[(a=\max X):=(a\in X\land \forall x\in X(x\leqslant a)),\\ (a=\min X):=(a\in X\land \forall x\in X(a\leqslant x))\] \(\max X\)读作“\(X\) 的极大元”，有时也用 \(\max_{x\in X}x \) 表示; 有界集不一定有极大元（极小元），比如 \(X=\{x\in\mathbb{R}|0\leqslant x < 1\}\) 有极小元0，但没有极大元。   * **定义4**:  对于 \(X\subset\mathbb{R},a\in X\), 如果\(\forall x\in X(x\leqslant a)\)，则称 \(a\) 为 \(X\)的**最大元**或**极大元**，（反之则是**最小元**或**极小元**）；形式写法为\[(a=\max X):=(a\in X\land \forall x\in X(x\leqslant a)),\\ (a=\min X):=(a\in X\land \forall x\in X(a\leqslant x))\] \(\max X\)读作“\(X\) 的极大元”，有时也用 \(\max_{x\in X}x \) 表示; 有界集不一定有极大元（极小元），比如 \(X=\{x\in\mathbb{R}|0\leqslant x < 1\}\) 有极小元0，但没有极大元。
   * **定义5**： 集合 \(X\subset\mathbb{R}\) 的上界中的最小者，叫做 \(X\) 的**上确界**，写做 \(\sup X\) 或 \(\sup\limits_{x\in X} x\)，即\[(s=\sup X) := \forall x \in X((x\leqslant s)\land(\forall s' <s \exists x'\in X(s'<x')))\]   * **定义5**： 集合 \(X\subset\mathbb{R}\) 的上界中的最小者，叫做 \(X\) 的**上确界**，写做 \(\sup X\) 或 \(\sup\limits_{x\in X} x\)，即\[(s=\sup X) := \forall x \in X((x\leqslant s)\land(\forall s' <s \exists x'\in X(s'<x')))\]
-  * **定义6**: 与**定义5**类似，得到**下确界**概念，写做  \(\inf X\) 或 \(\inf_{x\in X} x\),即\[(i=\inf X) := \forall x \in X((i\leqslant x)\land(\forall i <i' \exists x'\in X(x'<i')))\]+  * **定义6**: 与**定义5**类似，得到**下确界**概念，写做  \(\inf X\) 或 \(\inf\limits_{x\in X} x\)，即\[(i=\inf X) := \forall x \in X((i\leqslant x)\land(\forall i <i' \exists x'\in X(x'<i')))\]
   * **引理（上确界原理）** 实数集的任何非空有上界的子集有唯一的上确界   * **引理（上确界原理）** 实数集的任何非空有上界的子集有唯一的上确界
   * **引理** 类似的，有 \((X \textrm{下有界})\Rightarrow(\exists!\inf X)\)   * **引理** 类似的，有 \((X \textrm{下有界})\Rightarrow(\exists!\inf X)\)
行 76: 行 76:
   * \((m\in\mathbb{N})\land(n\in\mathbb{N})\land(n<m)\Rightarrow(n+1\leqslant m)\)   * \((m\in\mathbb{N})\land(n\in\mathbb{N})\land(n<m)\Rightarrow(n+1\leqslant m)\)
   * 数 \((n+1)\in\mathbb{N} \) 是 \(\mathbb{N}\) 中紧跟着 \(n\) 的一个自然数，亦即，当 \(n\in\mathbb{N}\) 时，没有任何自然数 \(x\) 能满足条件 \( n<x<n+1 \)   * 数 \((n+1)\in\mathbb{N} \) 是 \(\mathbb{N}\) 中紧跟着 \(n\) 的一个自然数，亦即，当 \(n\in\mathbb{N}\) 时，没有任何自然数 \(x\) 能满足条件 \( n<x<n+1 \)
-  * 如果 \(n\in\mathbb{N},n\neq 1 \), 那么数 \((n-1) \in\mathbb{N}\),并且是紧挨着 \(n\) 之前的自然数.+  * 如果 \(n\in\mathbb{N} \land n\neq 1 \), 那么数 \((n-1) \in\mathbb{N}\),并且是紧挨着 \(n\) 之前的自然数.
   * 自然数集的任何非空子集有最小元   * 自然数集的任何非空子集有最小元
  
行 115: 行 115:
   * 无界区间：无界集，例如：\(]a,+\infty[\; :=\{x\in\mathbb{R}|a<x\}\)   * 无界区间：无界集，例如：\(]a,+\infty[\; :=\{x\in\mathbb{R}|a<x\}\)
   * **定义7**：称含有 \(x\in\mathbb{R}\) 的开区间为 \(x\) 的一个**邻域**   * **定义7**：称含有 \(x\in\mathbb{R}\) 的开区间为 \(x\) 的一个**邻域**
-  * 数 \(x\) 的**模**或**绝对值**,记作\(|x|\):\[|x|=\left\{ \begin{array}{ll} x,\quad \textrm{when }x>0,\\0,\quad \textrm{when }x=0,\\-x,\; \textrm{when }x<0.  \end{array} \right. \]+  * 数 \(x\) 的**模**或**绝对值**,记作\(|x|\):\[|x|=\left\{ \begin{array}{ll} \;\;\; x,\quad \textrm{when }x>0,\\ \;\;\; 0,\quad \textrm{when }x=0,\\-x,\quad \textrm{when }x<0.  \end{array} \right. \]
   * **定义8**：称 \(|x-y|\) 为 \(x,y\in\mathbb{R}\) 之间的距离。   * **定义8**：称 \(|x-y|\) 为 \(x,y\in\mathbb{R}\) 之间的距离。
   * 三角形不等式：\(|x-y|\leqslant |x-z|+|z-y|\); 由此也可推 \(|x+y|\leqslant |x|+|y|\)   * 三角形不等式：\(|x-y|\leqslant |x-z|+|z-y|\); 由此也可推 \(|x+y|\leqslant |x|+|y|\)
行 136: 行 136:
   * **定义1**：以自然数为变量的函数 \(f:\mathbb{N}\to X\) 叫做**序列**，完整说法为**集合 \(X\) 中的元素序列**   * **定义1**：以自然数为变量的函数 \(f:\mathbb{N}\to X\) 叫做**序列**，完整说法为**集合 \(X\) 中的元素序列**
   * **定义2**：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots \) 是集合的序列，如果 \(X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots \), 即 \(\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})\), 那么，就说它是**套列集**   * **定义2**：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots \) 是集合的序列，如果 \(X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots \), 即 \(\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})\), 那么，就说它是**套列集**
-  * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n、supset \cdots \), 存在一点 \(c\in\mathbb{R}\),属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何 \(\varepsilon > 0 \), 在序列中能找到闭区间 \(I_k\)，使其长 \(|I_k|<\varepsilon\)，那么 \(c\) 就是所有闭区间的唯一公共点+  * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \), 存在一点 \(c\in\mathbb{R}\),属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何 \(\varepsilon > 0 \), 在序列中能找到闭区间 \(I_k\)，使其长 \(|I_k|<\varepsilon\)，那么 \(c\) 就是所有闭区间的唯一公共点
 ==== 2. 有限覆盖引理 ==== ==== 2. 有限覆盖引理 ====
-  * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((Borel 1871-1956, A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理+  * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((博雷尔 Borel 1871-1956, 勒贝格 A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理 
 +  * **定义 3**：设 \(S = \{X\} \) 是由一些集合 \(X\) 构成的集族。 如果 \( Y \subset \bigcup\limits_{X \in S} X\) (即集合 \(Y\) 的每个元素 \(y\), 至少含在集族 \(S\) 中的一个集合 \(X\) 中），就说 \(S\) **覆盖** 集合 \(Y\). 
 +  * 引理：在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在着覆盖这一闭区间的有限子族 
 + 
 +==== 3. 极限点引理 ==== 
 +  * 又名 波尔察诺-魏尔斯特拉斯((波尔察诺 B.Bolzano 1781-1848 捷克数学家与哲学家. 魏尔斯特拉斯 K.Weierstrass 1815-1897 德国数学家，关注数学分析的逻辑基础))原理 
 +  * **定义 4**：假如点 \(p \in \mathbb{R} \) 的任何**邻域**都包含 \( X \subset \mathbb{R} \) 的一个无穷子集，就称点 \(p \in \mathbb{R} \) 为集合 \(X\) 的**极限点** 
 +  * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点 
 + 
 +===== \(\S\)4. 可数集与不可数集 ===== 
 +==== 1. 可数集 ==== 
 +  * **定义 1**： 如果集合 \(X\) 与自然数集 \(\mathbb{N}\) 等势， 即 \( \textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}\)，就称 \(X\) 为**可数集**  
 +  * 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集 
 +  * 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集 
 +  * 推论 1): \( \textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}\) 
 +  * 推论 2): \( \textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}\)，即可数集的直积也是可数集 
 +  * 推论 3): \( \textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}\)，集有理数集是可数的 
 +  * 推论 4): 代数数集是可数集 
 + 
 +==== 2. 连续统的势 ==== 
 +  * **定义 2**: 实数集 \(\mathbb{R}\) 也叫做**数的连续统**，而它的势叫做**连续统的势** 
 +  * **定理（康托尔）**: \( \textrm{card } \mathbb{N} < \textrm{card } \mathbb{R}\) 
 +  * 推论 1): \(\mathbb{Q} \neq \mathbb{R} \) 且无理数存在. 
 +  * 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数 
  
-FIXME 
  • public/math/mathematical_analysis/chapter_2.1717315428.txt.gz
  • 最后更改: 2024/06/02 16:03
  • 由 oakfire