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--- public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 16:24] – [4. 实数集的几何解释与实数计算方面的一些问题] oakfire
+++ public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 17:14] (当前版本) – [2. 连续统的势] oakfire
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   * 无界区间：无界集，例如： $]a,+\infty[\; :=\{x\in\mathbb{R}|a<x\}$
   * **定义7**：称含有  $x\in\mathbb{R}$  的开区间为  $x$  的一个**邻域**
-  * 数  $x$  的**模**或**绝对值**,记作 $|x|$ :\[|x|=\left\{ \begin{array}{ll} \;\;\; x,\quad \textrm{when }x>0,\\ \;\;\; 0,\quad \textrm{when }x=0,\\-x,\; \quad \textrm{when }x<0.  \end{array} \right. \]
+  * 数  $x$  的**模**或**绝对值**,记作 $|x|$ : $|x|=\left\{ \begin{array}{ll} \;\;\; x,\quad \textrm{when }x>0,\\ \;\;\; 0,\quad \textrm{when }x=0,\\-x,\quad \textrm{when }x<0.  \end{array} \right.$
   * **定义8**：称  $|x-y|$  为  $x,y\in\mathbb{R}$  之间的距离。
   * 三角形不等式： $|x-y|\leqslant |x-z|+|z-y|$ ; 由此也可推  $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
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   * **定义1**：以自然数为变量的函数  $f:\mathbb{N}\to X$  叫做**序列**，完整说法为**集合  $X$  中的元素序列**
   * **定义2**：设  $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$  是集合的序列，如果  $X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots$ , 即  $\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})$ , 那么，就说它是**套列集**
-  * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n、supset \cdots \), 存在一点  $c\in\mathbb{R}$ ,属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何  $\varepsilon > 0$ , 在序列中能找到闭区间  $I_k$ ，使其长  $|I_k|<\varepsilon$ ，那么  $c$  就是所有闭区间的唯一公共点
+  * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \), 存在一点  $c\in\mathbb{R}$ ,属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何  $\varepsilon > 0$ , 在序列中能找到闭区间  $I_k$ ，使其长  $|I_k|<\varepsilon$ ，那么  $c$  就是所有闭区间的唯一公共点
 ==== 2. 有限覆盖引理 ====
-  * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((Borel 1871-1956, A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理
+  * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((博雷尔 Borel 1871-1956, 勒贝格 A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理
+  * **定义 3**：设  $S = \{X\}$  是由一些集合  $X$  构成的集族。 如果  $Y \subset \bigcup\limits_{X \in S} X$  (即集合  $Y$  的每个元素  $y$ , 至少含在集族  $S$  中的一个集合  $X$  中），就说  $S$  **覆盖** 集合  $Y$ .
+  * 引理：在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在着覆盖这一闭区间的有限子族
+==== 3. 极限点引理 ====
+  * 又名 波尔察诺-魏尔斯特拉斯((波尔察诺 B.Bolzano 1781-1848 捷克数学家与哲学家. 魏尔斯特拉斯 K.Weierstrass 1815-1897 德国数学家，关注数学分析的逻辑基础))原理
+  * **定义 4**：假如点  $p \in \mathbb{R}$  的任何**邻域**都包含  $X \subset \mathbb{R}$  的一个无穷子集，就称点  $p \in \mathbb{R}$  为集合  $X$  的**极限点**
+  * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点
+=====  $\S$ 4. 可数集与不可数集 =====
+==== 1. 可数集 ====
+  * **定义 1**： 如果集合  $X$  与自然数集  $\mathbb{N}$  等势， 即  $\textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，就称  $X$  为**可数集**
+  * 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集
+  * 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集
+  * 推论 1):  $\textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}$
+  * 推论 2):  $\textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，即可数集的直积也是可数集
+  * 推论 3):  $\textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，集有理数集是可数的
+  * 推论 4): 代数数集是可数集
+==== 2. 连续统的势 ====
+  * **定义 2**: 实数集  $\mathbb{R}$  也叫做**数的连续统**，而它的势叫做**连续统的势**
+  * **定理（康托尔）**:  $\textrm{card } \mathbb{N} < \textrm{card } \mathbb{R}$
+  * 推论 1):  $\mathbb{Q} \neq \mathbb{R}$  且无理数存在.
+  * 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数
-FIXME