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| public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 16:49] – [3. 极限点引理] oakfire | public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 17:14] (当前版本) – [2. 连续统的势] oakfire | ||
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| 行 136: | 行 136: | ||
| * **定义1**：以自然数为变量的函数 f:N→X 叫做**序列**，完整说法为**集合 X 中的元素序列** | * **定义1**：以自然数为变量的函数 f:N→X 叫做**序列**，完整说法为**集合 X 中的元素序列** | ||
| * **定义2**：设 X1,X2,⋯,Xn,⋯ 是集合的序列，如果 X1⊃X2⊃⋯⊃Xn⊃⋯, 即 ∀n∈N(Xn⊃Xn+1), 那么，就说它是**套列集** | * **定义2**：设 X1,X2,⋯,Xn,⋯ 是集合的序列，如果 X1⊃X2⊃⋯⊃Xn⊃⋯, 即 ∀n∈N(Xn⊃Xn+1), 那么，就说它是**套列集** | ||
| - | * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n、supset \cdots \), 存在一点 c∈R, | + | * 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \), 存在一点 c∈R, |
| ==== 2. 有限覆盖引理 ==== | ==== 2. 有限覆盖引理 ==== | ||
| * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((博雷尔 Borel 1871-1956, 勒贝格 A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理 | * 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格((博雷尔 Borel 1871-1956, 勒贝格 A.Lebesgue 1875-1941, 法国数学家，函数论专家))原理 | ||
| 行 146: | 行 146: | ||
| * **定义 4**：假如点 p∈R 的任何**邻域**都包含 X⊂R 的一个无穷子集，就称点 p∈R 为集合 X 的**极限点** | * **定义 4**：假如点 p∈R 的任何**邻域**都包含 X⊂R 的一个无穷子集，就称点 p∈R 为集合 X 的**极限点** | ||
| * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点 | * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点 | ||
| - | FIXME | + | |
| + | ===== §4. 可数集与不可数集 ===== | ||
| + | ==== 1. 可数集 ==== | ||
| + | * **定义 1**： 如果集合 X 与自然数集 N 等势， 即 card X=card N，就称 X 为**可数集** | ||
| + | * 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集 | ||
| + | * 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集 | ||
| + | * 推论 1): card Z=card N | ||
| + | * 推论 2): card N2=card N，即可数集的直积也是可数集 | ||
| + | * 推论 3): card Q=card N，集有理数集是可数的 | ||
| + | * 推论 4): 代数数集是可数集 | ||
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| + | ==== 2. 连续统的势 ==== | ||
| + | * **定义 2**: 实数集 R 也叫做**数的连续统**，而它的势叫做**连续统的势** | ||
| + | * **定理（康托尔）**: | ||
| + | * 推论 1): Q≠R 且无理数存在. | ||
| + | * 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数 | ||
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oakfire