第二章实数 [Oakfire Wiki]

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public:math:mathematical_analysis:chapter_2

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--- public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 16:51] – [1. 闭区间套引理（柯西-康托尔原理）] oakfire
+++ public:math:mathematical_analysis:chapter_2 [2024/06/02 17:14] (当前版本) – [2. 连续统的势] oakfire
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   * **定义 4**：假如点  $p \in \mathbb{R}$  的任何**邻域**都包含  $X \subset \mathbb{R}$  的一个无穷子集，就称点  $p \in \mathbb{R}$  为集合  $X$  的**极限点**
   * **引理**(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点
-FIXME
+=====  $\S$ 4. 可数集与不可数集 =====
+==== 1. 可数集 ====
+  * **定义 1**： 如果集合  $X$  与自然数集  $\mathbb{N}$  等势， 即  $\textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，就称  $X$  为**可数集**
+  * 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集
+  * 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集
+  * 推论 1):  $\textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}$
+  * 推论 2):  $\textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，即可数集的直积也是可数集
+  * 推论 3):  $\textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}$ ，集有理数集是可数的
+  * 推论 4): 代数数集是可数集
+==== 2. 连续统的势 ====
+  * **定义 2**: 实数集  $\mathbb{R}$  也叫做**数的连续统**，而它的势叫做**连续统的势**
+  * **定理（康托尔）**:  $\textrm{card } \mathbb{N} < \textrm{card } \mathbb{R}$
+  * 推论 1):  $\mathbb{Q} \neq \mathbb{R}$  且无理数存在.
+  * 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数

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最后更改: 2024/06/02 16:51
由 oakfire