public:math:mathematical_analysis:chapter_3

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public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/02 17:33] – oakfirepublic:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/18 22:11] (当前版本) – [3. 数列极限的存在问题] oakfire
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 ===== §1. 序列的极限 ===== ===== §1. 序列的极限 =====
-==== 1. 定义和例子+==== 1. 定义和例子 ====
   * **定义 1**: 定义域为自然数集的函数 f:N→X 叫做**序列**。 元素 xn 叫做序列的第 n 项.   * **定义 1**: 定义域为自然数集的函数 f:N→X 叫做**序列**。 元素 xn 叫做序列的第 n 项.
-  * **定义 2**: 如果对于点 A∈R 的任何邻域 V(A), 存在号码 N (其选取与V(A) 相关), 使得数列的所有标号大于 N的项，包含在点 A 的这个邻域V(A) 之中，则称数 A∈R 为数列 xn 的**极限**，+  * **定义 2**: 如果对于点 A∈R 的任何邻域((定义见 [[public:math:mathematical_analysis:chapter_2#a_数轴与实数的对应]])) V(A), 存在号码 N (其选取与V(A) 相关), 使得数列的所有标号大于 N的项，包含在点 A 的这个 邻域  V(A) 之中，则称数 A∈R 为数列 xn 的**极限**。 
 +    * 流行的表述：如果对于任何 ε>0, 存在号码 N, 使得一切 n>N, 有 |xn−A|<ε 
 +    * 形式化定义：(limn→∞xn=A):=∀V(A)∃N∈N∀n>N(xn∈V(A))  相应得有： (limn→∞xn=A):=∀ε>0∃N∈N∀n>N(|xn−A|<ε)  
 +  * **定义 3**: 如果 limn→∞xn=A, 就说数列 xn **收敛**于 A 或趋于 A, 并记成 “当 n→∞ 时 xn→A ”。 
 +    * 有极限的序列叫做**收敛序列**，没有极限的序列叫做**发散序列** 
 +    * 例1： limn→∞1n=0 
 +    * 例4： limn→∞sinnn=0 
 +==== 2. 数列极限的性质 ==== 
 +  * 如果一个数列只有一个值，则叫做**常数列** 
 +  * **定义 4**: 如果满足 ∃A,∃N,∀n>N(xn=A), 就说 数列 {xn} 为**最终常数列** 
 +  * **定义 5**: 如果满足 ∃M∀n∈N(|xn|<M), 就说数列 {xn} 为**有界数列** 
 +  * **定理 1**: a) 最终常数列可收敛. 
 +    * b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项. 
 +    * c) 数列不能有两个不同的极限. 
 +    * d) 收敛数列并有界.  
 +  * **定义 6**: 设 {xn},{yn} 是两个数列，那么分别称数列{(xn+yn)},{(xnyn)},{(xnyn)} 为它们的**和、积、商** 
 +  * **定理 2**: 设 {xn},{yn} 是数列， 如果 limn→∞xn=A,limn→∞yn=B, 那么 
 +    * a) limn→∞(xn+yn)=A+B; 
 +    * b) limn→∞xn⋅yn=A⋅B; 
 +    * c) limn→∞xnyn=AB, 如果 yn≠0(n=1,2⋯)∧B≠0. 
 +  * **定理 3**: a) 设 {xn},{yn} 是两个收敛数列，且 limn→∞xn=A,limn→∞yn=B. 如果 A<B, 就存在 N∈N，使得对于任何 n>N, 不等式 xn<yn 成立. 
 +    * b) 设 {xn},{yn},{zn} 是这样三个数列: 当 n>N∈N 时， xn⩽yn⩽zn. 如果 {xn} 与 {zn} 收敛于同一极限，那么数列 {yn} 也收敛于这个极限.
  
 +==== 3. 数列极限的存在问题 ====
 +  * **定义 7**:  满足 ∀ε>0∃N∈N∀n>N∀m>N(|xm−xn|<ε) 的 数列 {xn} 叫做 **基本列** 或 **柯西列**
 +  * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: 数列收敛的充要条件是它是基本列
 +    * 证明不是基本列的否命题是：∃ε>0,∀N∈N∃n>N,∃m>N(|xm−xn|⩾ε
 +  * **定义 8**: 设数列 {xn}, **递增列**：满足 ∀n∈N(xn<xn+1)
 +    * **不降列**: 满足 ∀n∈N(xn⩽xn+1)
 +    * **不增列**: 满足 ∀n∈N(xn⩾xn+1)
 +    * **递降列**: 满足 ∀n∈N(xn>xn+1)
 +    * 以上四种都称之为 **单调数列**
 +  * **定义 9**: **上有界列**: 满足 ∃M,∀n∈N(xn<M); 类似可定义 **下有界列**
 +  * **定理 5(魏尔斯特拉斯)**: 不降数列有极限的充要条件是它上有界
 +    * 例11: 当 q>1 时， limn→∞nqn=0.
 +    * 推论1：limn→∞n√n=1
 +    * 推论2：∀a>0,limn→∞n√a=1
 +    * 例12: ∀q∈R,limn→∞qnn!=0, 其中 n∈N,n!:=1⋅2⋅⋯⋅n.
 +  * **伯努利不等式**：(1+α)n⩾1+nα, 其中 n∈N,α>−1
 +  * **定义10：自然常数 e **:  e:=limn→∞(1+1n)n
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  • 最后更改: 2024/06/02 17:33
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