public:math:mathematical_analysis:chapter_3

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public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/02 18:13] – [2. 数列极限的性质] oakfirepublic:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/18 22:11] (当前版本) – [3. 数列极限的存在问题] oakfire
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 ==== 1. 定义和例子 ==== ==== 1. 定义和例子 ====
   * **定义 1**: 定义域为自然数集的函数 f:N→X 叫做**序列**。 元素 xn 叫做序列的第 n 项.   * **定义 1**: 定义域为自然数集的函数 f:N→X 叫做**序列**。 元素 xn 叫做序列的第 n 项.
-  * **定义 2**: 如果对于点 A∈R 的任何邻域 V(A), 存在号码 N (其选取与V(A) 相关), 使得数列的所有标号大于 N的项，包含在点 A 的这个邻域V(A) 之中，则称数 A∈R 为数列 xn 的**极限**。+  * **定义 2**: 如果对于点 A∈R 的任何邻域((定义见 [[public:math:mathematical_analysis:chapter_2#a_数轴与实数的对应]])) V(A), 存在号码 N (其选取与V(A) 相关), 使得数列的所有标号大于 N的项，包含在点 A 的这个 邻域  V(A) 之中，则称数 A∈R 为数列 xn 的**极限**。
     * 流行的表述：如果对于任何 ε>0, 存在号码 N, 使得一切 n>N, 有 |xn−A|<ε     * 流行的表述：如果对于任何 ε>0, 存在号码 N, 使得一切 n>N, 有 |xn−A|<ε
     * 形式化定义：(limn→∞xn=A):=∀V(A)∃N∈N∀n>N(xn∈V(A))  相应得有： (limn→∞xn=A):=∀ε>0∃N∈N∀n>N(|xn−A|<ε)      * 形式化定义：(limn→∞xn=A):=∀V(A)∃N∈N∀n>N(xn∈V(A))  相应得有： (limn→∞xn=A):=∀ε>0∃N∈N∀n>N(|xn−A|<ε) 
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     * c) 数列不能有两个不同的极限.     * c) 数列不能有两个不同的极限.
     * d) 收敛数列并有界.      * d) 收敛数列并有界. 
-  * **定义 6**: +  * **定义 6**: 设 {xn},{yn} 是两个数列，那么分别称数列{(xn+yn)},{(xnyn)},{(xnyn)} 为它们的**和、积、商** 
 +  * **定理 2**: 设 {xn},{yn} 是数列， 如果 limn→∞xn=A,limn→∞yn=B, 那么 
 +    * a) limn→∞(xn+yn)=A+B; 
 +    * b) limn→∞xn⋅yn=A⋅B; 
 +    * c) limn→∞xnyn=AB, 如果 yn≠0(n=1,2⋯)∧B≠0. 
 +  * **定理 3**: a) 设 {xn},{yn} 是两个收敛数列，且 limn→∞xn=A,limn→∞yn=B. 如果 A<B, 就存在 N∈N，使得对于任何 n>N, 不等式 xn<yn 成立. 
 +    * b) 设 {xn},{yn},{zn} 是这样三个数列: 当 n>N∈N 时， xn⩽. 如果 \{ x_n \} 与 \{ z_n \} 收敛于同一极限，那么数列 \{y_n\} 也收敛于这个极限.
  
 +==== 3. 数列极限的存在问题 ====
 +  * **定义 7**:  满足 \forall \varepsilon> 0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n > N \; \forall m > N (|x_m - x_n| < \varepsilon) 的 数列 \{x_n\} 叫做 **基本列** 或 **柯西列**
 +  * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: 数列收敛的充要条件是它是基本列
 +    * 证明不是基本列的否命题是：\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon
 +  * **定义 8**: 设数列 \{x_n\} , **递增列**：满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})
 +    * **不降列**: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n \leqslant x_{n+1})
 +    * **不增列**: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n \geqslant x_{n+1})
 +    * **递降列**: 满足 \forall n \in \mathbb{N}(x_n > x_{n+1})
 +    * 以上四种都称之为 **单调数列**
 +  * **定义 9**: **上有界列**: 满足 \exists M,\forall n \in \mathbb{N}(x_n < M) ; 类似可定义 **下有界列**
 +  * **定理 5(魏尔斯特拉斯)**: 不降数列有极限的充要条件是它上有界
 +    * 例11: 当 q > 1 时， \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0 .
 +    * 推论1： \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
 +    * 推论2： \forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1
 +    * 例12: \forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0 , 其中 n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n  .
 +  * **伯努利不等式**： (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha , 其中 n \in \mathbb{N}, \alpha > -1
 +  * **定义10：自然常数 e **:  e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n
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  • 最后更改: 2024/06/02 18:13
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