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| public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/05 23:21] – [3. 数列极限的存在问题] oakfire | public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/18 22:11] (当前版本) – [3. 数列极限的存在问题] oakfire | ||
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| 行 32: | 行 32: | ||
| * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: | * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: | ||
| * 证明不是基本列的否命题是：∃ε>0,∀N∈N∃n>N,∃m>N(|xm−xn|⩾ε | * 证明不是基本列的否命题是：∃ε>0,∀N∈N∃n>N,∃m>N(|xm−xn|⩾ε | ||
| + | * **定义 8**: 设数列 {xn}, **递增列**：满足 ∀n∈N(xn<xn+1) | ||
| + | * **不降列**: | ||
| + | * **不增列**: | ||
| + | * **递降列**: | ||
| + | * 以上四种都称之为 **单调数列** | ||
| + | * **定义 9**: **上有界列**: | ||
| + | * **定理 5(魏尔斯特拉斯)**: | ||
| + | * 例11: 当 q>1 时， lim. | ||
| + | * 推论1： \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 | ||
| + | * 推论2： \forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 | ||
| + | * 例12: \forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0 , 其中 n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n . | ||
| + | * **伯努利不等式**： (1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha , 其中 n \in \mathbb{N}, \alpha > -1 | ||
| + | * **定义10：自然常数 e **: e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n | ||
| FIXME | FIXME | ||
oakfire