第三章 极限

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==== 1. 定义和例子

• 定义 1: 定义域为自然数集的函数 $f: \mathbb{N} \rightarrow X$ 叫做序列。 元素 $x_n$ 叫做序列的第 $n$ 项.
• 定义 2: 如果对于点 $A \in \mathbb{R}$ 的任何邻域 $V(A)$, 存在号码 $N$ (其选取与$V(A)$ 相关), 使得数列的所有标号大于 $N$的项，包含在点 $A$ 的这个邻域$V(A)$ 之中，则称数 $A \in \mathbb{R}$ 为数列 ${x_n}$ 的极限。
  • 流行的表述：如果对于任何 $\varepsilon > 0$, 存在号码 $N$, 使得一切 $n > N$, 有 $|x_n - A| < \varepsilon$
  • 形式化定义： $$\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall V(A) \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (x_n \in V(A))$$ 相应得有： $$\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon)$$