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第三章 极限
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§1. 序列的极限
1. 定义和例子
- 定义 1: 定义域为自然数集的函数 f:N→X 叫做序列。 元素 xn 叫做序列的第 n 项.
- 定义 2: 如果对于点 A∈R 的任何邻域1) V(A), 存在号码 N (其选取与V(A) 相关), 使得数列的所有标号大于 N的项，包含在点 A 的这个 邻域 V(A) 之中，则称数 A∈R 为数列 xn 的极限。
- 流行的表述：如果对于任何 ε>0, 存在号码 N, 使得一切 n>N, 有 |xn−A|<ε
- 形式化定义：(limn→∞xn=A):=∀V(A)∃N∈N∀n>N(xn∈V(A)) 相应得有： (limn→∞xn=A):=∀ε>0∃N∈N∀n>N(|xn−A|<ε)
- 定义 3: 如果 limn→∞xn=A, 就说数列 xn 收敛于 A 或趋于 A, 并记成 “当 n→∞ 时 xn→A ”。
- 有极限的序列叫做收敛序列，没有极限的序列叫做发散序列
- 例1： limn→∞1n=0
- 例4： limn→∞sinnn=0
2. 数列极限的性质
- 如果一个数列只有一个值，则叫做常数列
- 定义 4: 如果满足 ∃A,∃N,∀n>N(xn=A), 就说 数列 {xn} 为最终常数列
- 定义 5: 如果满足 ∃M∀n∈N(|xn|<M), 就说数列 {xn} 为有界数列
- 定理 1: a) 最终常数列可收敛.
- b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项.
- c) 数列不能有两个不同的极限.
- d) 收敛数列并有界.
- 定义 6: 设 {xn},{yn} 是两个数列，那么分别称数列{(xn+yn)},{(xnyn)},{(xnyn)} 为它们的和、积、商
- 定理 2: 设 {xn},{yn} 是数列， 如果 limn→∞xn=A,limn→∞yn=B, 那么
- a) limn→∞(xn+yn)=A+B;
- b) limn→∞xn⋅yn=A⋅B;
- c) limn→∞xnyn=AB, 如果 yn≠0(n=1,2⋯)∧B≠0.
- 定理 3:
1)
定义见 a_数轴与实数的对应
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