数学分析 Mathematical Analysis

这是本文档旧的修订版！

关系与括号：$ \lnot $ “非”, $ \land $ “与”, $ \lor $ “或”, $ \Rightarrow $ “蕴含”, $ \Leftrightarrow $ “等价”
关于证明的注记：
- 典型的数学论断具有 $ A \Rightarrow B $ 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语
- 证明中使用古典推证法则： $ A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B $ A 真且 A 蕴含 B,则 B 也真
- 排中律：$ (A \lor \lnot A) $ 始终成立
- 逆否命题等价于原命题: $ \lnot(\lnot A) \Leftrightarrow A $
某些专门记号：
- 证明开始与结束: $\blacktriangleleft$ 及 $\blacktriangleright$
- 据定义等于： $ := $ 或 $ =: $ 其中两点放在被定义的对象一边，比如式子 $$ \int_{a}^{b} f(x)dx := \lim_{\lambda(P)\rightarrow 0} \sigma(f,P,\xi) $$ 是用右端定义左端，而右端含义认为是已知的
最后的注记：我们并没有分析逻辑推导形式，也没涉及数理逻辑研究对象的深刻问题，但已可先建立（学习）数学分析。数学分析在实数理论逻辑合格之后的极限理论基础上才获得现代形式化的、含义明确的、为人所理解的形式。

集合概念：
- 朴素集合论,康托尔(G.Gantor)(1845-1918)
- 罗素(B.Russell)(1872-1970)悖论: 设 $M$ 为一集合，$ P(M)$ 表示 “$M$ 是不以自己作为元素的集”，考察集合 $K=\{M|P(M)\} $ 将有 $P(K)$ 不为真且 $\lnot P(K)$ 也不为真，产生矛盾
- 集合论公理体系
包含关系：
- $x$ 是集合 $X$ 的元素记为： $ x \in X $ 或 $ X \ni x $ 不属于则为 $ x \notin X $
- 存在量词：$\exists$ “存在”或“找到”； 全称量词：$\forall$ “任何的”或“对于任何的”。
- $ \forall x((x\in A) \Leftrightarrow (x\in B) $ 则集合 A 与 B 为等价的，简记为 $ A=B $
- $B$ 包含 $A$： $ (A \subset B):=\forall((x \in A)\Rightarrow(x \in B)) $
- $ (A=B) \Leftrightarrow (A \subset B)\land(B \subset A) $
- 集合 $M$ 的空子集：$ \varnothing = \{ x \in M| x \neq x \} $