数学分析 Mathematical Analysis

通常也叫 映射、变换、射、算子、泛函

记为 $f: X \rightarrow Y$ 或 $X \rightarrow^f Y.$ 或 $y=f(x)$

函数的值集（值域）： $$f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\}$$

概念：函数的出发域、函数的到达域

例1：球体积公式 $V= \frac{4}{3}\pi r^3$ 为在正实数集 $\mathbb{R}_+$ 上的函数 $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$

例3：伽利略变换：惯性坐标系$(x,t)$变为另一个相对速度$v$的坐标系$(x',t')$ ： $$\begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases}$$ 为映射 $G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, 其中 $\mathbb{R}^2$ 为时间轴与空间轴的直积 $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x$

例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用: $$\begin{cases} x'= \frac{x-vt}{ \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\frac{v}{c^2})x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases}$$ 其中 $c$ 为光速，变换 $L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$。

例7：泛函：定义在函数上的函数。

例10：$n$质点系的构形空间

例12：$n$质点系的相空间

若有两映射 $f: X \rightarrow Y$ 与 $g: Y \rightarrow Z$, 且 $g$ 定义在 $f$ 的值域上，则可用公式 $$(g \circ f) := g(f(x))$$ 确定 $X$ 上的新映射 $$g \circ f : X \rightarrow Z$$ 此映射 $g \circ f$ 叫做映射 f 与 映射 g 的复合映射

复合映射满足结合律： $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

$f^n := f_n \circ … \circ f_1$ 例子： 正数 $a$ 的平方根可按公式 $$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + frac{a}{x_n})$$ 用逐次逼近法来进行近似计算，前一步得到的值作为后一步的自变量值的计算方法叫做迭代法

显然不满足交换律：$g \circ f \neq f \circ g$

恒等映射： 若映射$f: X \rightarrow X$ 把 $X$ 的每个元映成自身, 那么把 $f$ 记做 $e_X$, 并称为恒等映射

引理： $$(g \circ f = e_X) \Rightarrow (g是满射)\land(f是单射)$$

命题：映射 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 是互逆的双射当且仅当 $g \circ f = e_X$ 且 $f \circ g = e_Y$