数学分析 Mathematical Analysis

这是本文档旧的修订版！

本书习题不适合初学者
搞清理论产生的动机及其在自然科学中的典型应用
对数学分析这个大厦形成基本的架构概念

$\S1$ 逻辑符号

关系与括号：$ \lnot $ “非”, $ \land $ “与”, $ \lor $ “或”, $ \Rightarrow $ “蕴含”, $ \Leftrightarrow $ “等价”
关于证明的注记：
- 典型的数学论断具有 $ A \Rightarrow B $ 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语
- 证明中使用古典推证法则： $ A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B $ A 真且 A 蕴含 B,则 B 也真
- 排中律：$ (A \lor \lnot A) $ 始终成立
- 逆否命题等价于原命题: $ \lnot(\lnot A) \Leftrightarrow A $
某些专门记号：
- 证明开始与结束: $\blacktriangleleft$ 及 $\blacktriangleright$
- 据定义等于： $ := $ 或 $ =: $ 其中两点放在被定义的对象一边，比如式子 $$ \int_{a}^{b} f(x)dx := \lim_{\lambda(P)\rightarrow 0} \sigma(f,P,\xi) $$ 是用右端定义左端，而右端含义认为是已知的
最后的注记：我们并没有分析逻辑推导形式，也没涉及数理逻辑研究对象的深刻问题，但已可先建立（学习）数学分析。数学分析在实数理论逻辑合格之后的极限理论基础上才获得现代形式化的、含义明确的、为人所理解的形式。

$\S2$ 集与集的初等运算

集合概念：
- 朴素集合论,康托尔(G.Gantor 1845-1918)
- 罗素(B.Russell)(1872-1970)悖论: 设 $M$ 为一集合，$ P(M)$ 表示 “$M$ 是不以自己作为元素的集”，考察集合 $K=\{M|P(M)\} $ 将有 $P(K)$ 不为真且 $\lnot P(K)$ 也不为真，产生矛盾
- 集合论公理体系
包含关系：
- $x$ 是集合 $X$ 的元素记为： $ x \in X $ 或 $ X \ni x $ 不属于则为 $ x \notin X $
- 存在量词：$\exists$ “存在”或“找到”； 全称量词：$\forall$ “任何的”或“对于任何的”。
- $ \forall x((x\in A) \Leftrightarrow (x\in B)) $ 则集合 A 与 B 为等价的，简记为 $ A=B $
- $B$ 包含 $A$： $ (A \subset B):=\forall x((x \in A)\Rightarrow(x \in B)) $
- $ (A=B) \Leftrightarrow (A \subset B)\land(B \subset A) $
- 集合 $M$ 的空子集：$ \varnothing = \{ x \in M| x \neq x \} $
最简单的集合运算：
- $A,B$ 并集： $ A \cup B := \{x \in M|(x \in A)\lor (x \in B)\} $
- $A,B$ 交集： $ A \cap B := \{x \in M|(x \in A)\land(x \in B)\} $
- $A,B$ 差集： $ A \setminus B := \{x \in M|(x \in A)\land(x \notin B)\} $
- $A$ 在 $M$ 中的补集：$ C_M A $
- 德•摩根(De.Morgan 1806-1871)规则：$$ C_M(A \cup B) = C_M A \cap C_M B $$ $$ C_M(A \cap B) = C_M A \cup C_M B $$
- 集合的直积（笛卡尔积）：笛卡尔(Descartes 1596-1650) $$ X \times Y := \{(x,y)|(x \in X)\land(y \in Y)\} $$ 其中 $(x,y)$ 为序对（其第一项是 $X$ 的元素，第二项为 $Y$ 中的元素。
- 设序对 $z=(x_1, x_2)$ 是集合 $X_1,X_2$ 的直积 $ X_1 \times X_2 $ 中的元素，那么 $x_1$ 叫做序对 $z$ 的第一射影，记作 $\textrm{pr}_1 z$ ; 而 $x_2$ 叫做序对 $z$ 的第二射影，记作 $ \textrm{pr}_2 z$

$\S3$ 函数

函数（映射）的概念：设有两集合 $X$ 与 $Y$, 如有规律 $f$, 对于每个元素 $x \in X $ ,都有一元素 $y \in Y $ 与之对应，则说有一个定义在 $X$ 上而在 $Y$ 中取值的函数
- 通常也叫 映射、变换、射、算子、泛函
- 记为 $ f: X \rightarrow Y $ 或 $ X \rightarrow^f Y. $ 或 $ y=f(x) $
- 函数的值集（值域）： $$ f(X) := \{y \in Y | \exists x((x \in X) \land (y= f(x)))\} $$
- 概念：函数的出发域、函数的到达域
- 例1：球体积公式 $ V= \frac{4}{3}\pi r^3 $ 为在正实数集 $ \mathbb{R}_+ $ 上的函数 $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+ $
- 例3：伽利略变换：惯性坐标系$(x,t)$变为另一个相对速度$v$的坐标系$(x',t')$ ： $$ \begin{cases} x'= x-vt, \\t'=t, \end{cases} $$ 为映射 $ G:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $, 其中 $\mathbb{R}^2$ 为时间轴与空间轴的直积 $ \mathbb{R}^2=\mathbb{R}_t \times \mathbb{R}_x $
- 例3：(一维)洛伦兹(G.A.Lorentz 1853-1928)变换，它在狭义相对论中起着基本作用: $$ \begin{cases} x'= \frac{x-vt}{ \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},\\t'= \frac{t-(\frac{v}{c^2})x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, \end{cases} $$ 其中 $c$ 为光速，变换 $ L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $。
- 例7：泛函：定义在函数上的函数。
- 例10：$n$质点系的构形空间
- 例12：$n$质点系的相空间
映射的简单分类：原像(全原像)、满射、单射、双射(一一映射)。
函数的复合与互逆映射:
- 若有两映射 $ f: X \rightarrow Y $ 与 $ g: Y \rightarrow Z $, 且 $g$ 定义在 $f$ 的值域上，则可用公式 $$ (g \circ f) := g(f(x)) $$ 确定 $X$ 上的新映射 $$ g \circ f : X \rightarrow Z $$ 此映射 $g \circ f $ 叫做映射 f 与映射 g 的复合映射
- 复合映射满足结合律： $ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f $
- $ f^n := f_n \circ … \circ f_1 $ 例子：正数 $a$ 的平方根可按公式 $$ x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + frac{a}{x_n}) $$ 用逐次逼近法来进行近似计算，前一步得到的值作为后一步的自变量值的计算方法叫做迭代法
- 显然不满足交换律：$ g \circ f \neq f \circ g $
- 恒等映射：若映射$ f: X \rightarrow X $ 把 $X$ 的每个元映成自身, 那么把 $f$ 记做 $e_X$, 并称为恒等映射
- 引理：$$ (g \circ f = e_X) \Rightarrow (g是满射)\land(f是单射) $$
- 命题：映射 $ f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X $ 是互逆的双射当且仅当 $g \circ f = e_X$ 且 $f \circ g = e_Y $
作为关系的函数.函数的图像
- 从现代观点来看，前面的函数定义还不能说是一个定义，因为它利用了与函数等价的概念：对应。这里将介绍怎样用集合论语言给出函数定义。