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--- public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/02 17:49] – [ $\S$ 1. 序列的极限] oakfire
+++ public:math:mathematical_analysis:chapter_3 [2024/06/18 22:11] (当前版本) – [3. 数列极限的存在问题] oakfire
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 =====  $\S$ 1. 序列的极限 =====
-==== 1. 定义和例子
+==== 1. 定义和例子 ====
   * **定义 1**: 定义域为自然数集的函数  $f: \mathbb{N} \rightarrow X$  叫做**序列**。 元素  $x_n$  叫做序列的第  $n$  项.
-  * **定义 2**: 如果对于点  $A \in \mathbb{R}$  的任何邻域  $V(A)$ , 存在号码  $N$  (其选取与 $V(A)$  相关), 使得数列的所有标号大于  $N$ 的项，包含在点  $A$  的这个邻域 $V(A)$  之中，则称数  $A \in \mathbb{R}$  为数列  ${x_n}$  的**极限**。
+  * **定义 2**: 如果对于点  $A \in \mathbb{R}$  的任何邻域((定义见 [[public:math:mathematical_analysis:chapter_2#a_数轴与实数的对应]]))  $V(A)$ , 存在号码  $N$  (其选取与 $V(A)$  相关), 使得数列的所有标号大于  $N$ 的项，包含在点  $A$  的这个 邻域   $V(A)$  之中，则称数  $A \in \mathbb{R}$  为数列  ${x_n}$  的**极限**。
     * 流行的表述：如果对于任何  $\varepsilon > 0$ , 存在号码  $N$ , 使得一切  $n > N$ , 有  $|x_n - A| < \varepsilon$
     * 形式化定义： $\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall V(A) \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (x_n \in V(A))$   相应得有：  $\bigg( \lim_{n \to \infty} x_n = A \bigg) := \forall\; \varepsilon > 0 \;\exists N \in \mathbb{N} \;\forall\; n > N (|x_n - A| < \varepsilon)$
+  * **定义 3**: 如果  $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = A$ , 就说数列  ${x_n}$  **收敛**于  $A$  或趋于  $A$ , 并记成 “当  $n \to \infty$  时  $x_n \to A$  ”。
+    * 有极限的序列叫做**收敛序列**，没有极限的序列叫做**发散序列**
+    * 例1：  $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
+    * 例4：  $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$
+==== 2. 数列极限的性质 ====
+  * 如果一个数列只有一个值，则叫做**常数列**
+  * **定义 4**: 如果满足  $\exists A, \exists N, \forall\; n > N (x_n = A)$ , 就说 数列  $\{x_n\}$  为**最终常数列**
+  * **定义 5**: 如果满足  $\exists M \;\forall\; n \in \mathbb{N}(|x_n|<M)$ , 就说数列  $\{x_n\}$  为**有界数列**
+  * **定理 1**: a) 最终常数列可收敛.
+    * b) 数列极限的任何邻域，包含着数列中除了有限多个数之外的所有项.
+    * c) 数列不能有两个不同的极限.
+    * d) 收敛数列并有界.
+  * **定义 6**: 设  $\{x_n\}, \{y_n\}$  是两个数列，那么分别称数列 $\{(x_n + y_n) \}, \{(x_n y_n)\}, \Bigl \{ \Bigl( \frac{x_n}{y_n} \Bigl) \Bigl \}$  为它们的**和、积、商**
+  * **定理 2**: 设  $\{x_n\}, \{y_n\}$  是数列， 如果  $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B$ , 那么
+    * a)  $\lim\limits_{n \to \infty}(x_n + y_n) = A + B$ ;
+    * b)  $\lim\limits_{n \to \infty}x_n \cdot y_n = A \cdot B$ ;
+    * c)  $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{A}{B}$ , 如果  $y_n \ne 0(n=1,2\cdots) \land B \ne 0$ .
+  * **定理 3**: a) 设  $\{x_n\}, \{y_n\}$  是两个收敛数列，且  $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = A, \lim\limits_{n \to \infty} y_n = B$ . 如果  $A < B$ , 就存在  $N \in \mathbb{N}$ ，使得对于任何  $n > N$ , 不等式  $x_n < y_n$  成立.
+    * b) 设  $\{x_n\}, \{y_n\} , \{z_n\}$  是这样三个数列: 当  $n > N \in \mathbb{N}$  时，  $x_n \leqslant y_n \leqslant z_n$ . 如果  $\{ x_n \}$  与  $\{ z_n \}$  收敛于同一极限，那么数列  $\{y_n\}$  也收敛于这个极限.
+==== 3. 数列极限的存在问题 ====
+  * **定义 7**:  满足  $\forall \varepsilon> 0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n > N \; \forall m > N (|x_m - x_n| < \varepsilon)$  的 数列  $\{x_n\}$  叫做 **基本列** 或 **柯西列**
+  * **定理 4 (数列收敛的柯西准则)**: 数列收敛的充要条件是它是基本列
+    * 证明不是基本列的否命题是： $\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \; \exists n > N,\exists m > N(|x_m - x_n| \geqslant \varepsilon$
+  * **定义 8**: 设数列  $\{x_n\}$ , **递增列**：满足  $\forall n \in \mathbb{N}(x_n < x_{n+1})$
+    * **不降列**: 满足  $\forall n \in \mathbb{N}(x_n \leqslant x_{n+1})$
+    * **不增列**: 满足  $\forall n \in \mathbb{N}(x_n \geqslant x_{n+1})$
+    * **递降列**: 满足  $\forall n \in \mathbb{N}(x_n > x_{n+1})$
+    * 以上四种都称之为 **单调数列**
+  * **定义 9**: **上有界列**: 满足  $\exists M,\forall n \in \mathbb{N}(x_n < M)$ ; 类似可定义 **下有界列**
+  * **定理 5(魏尔斯特拉斯)**: 不降数列有极限的充要条件是它上有界
+    * 例11: 当  $q > 1$  时，  $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{q^n} = 0$ .
+    * 推论1： $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
+    * 推论2： $\forall a > 0, \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$
+    * 例12:  $\forall q \in \mathbb{R}, \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{q^n}{n!} = 0$ , 其中  $n \in \mathbb{N}, n! := 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n$ .
+  * **伯努利不等式**： $(1 + \alpha)^n \geqslant 1 + n\alpha$ , 其中  $n \in \mathbb{N}, \alpha > -1$
+  * **定义10：自然常数  $e$  **:   $e := \lim_{n \to \infty} \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^n$
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