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| public:math:mathematical_analysis [2018/10/29 22:22] – [第一章 一些通用的数学概念及记号] oakfire | public:math:mathematical_analysis [2019/03/13 23:10] (当前版本) – oakfire | ||
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| * 对数学分析这个大厦形成基本的架构概念 | * 对数学分析这个大厦形成基本的架构概念 | ||
| - | ==== 第一章 一些通用的数学概念及记号 ==== | + | ==== 笔记目录 |
| - | === $\S$1 逻辑符号 | + | * [[public: |
| - | * 关系与括号：$ \lnot $ “非”, $ \land $ “与”, $ \lor $ “或”, $ \Rightarrow $ “蕴含”, | + | * [[public: |
| - | * 关于证明的注记： | + | * [[public: |
| - | * 典型的数学论断具有 $ A \Rightarrow B $ 这种形式，证明时建立一串蕴含关系，其中每个蕴含关系为公理或已证明断语 | + | * [[public: |
| - | * 证明中使用古典推证法则： $ A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B $ A 真且 A 蕴含 B,则 B 也真 | + | * [[public:math:mathematical_analysis:chapter_5]] |
| - | | + | * [[public: |
| - | * 逆否命题等价于原命题: $ \lnot(\lnot A) \Leftrightarrow A $ | + | * [[public:math: |
| - | * 某些专门记号： | + | * [[public:math: |
| - | * 证明开始与结束: $\blacktriangleleft$ 及 $\blacktriangleright$ | + | |
| - | * 据定义等于： $ := $ 或 $ =: $ 其中两点放在被定义的对象一边，比如式子 $$ \int_{a}^{b} f(x)dx | + | |
| - | * 最后的注记：我们并没有分析逻辑推导形式，也没涉及数理逻辑研究对象的深刻问题，但已可先建立（学习）数学分析。数学分析在实数理论逻辑合格之后的极限理论基础上才获得现代形式化的、含义明确的、为人所理解的形式。 | + | |
| - | === $\S$2 集与集的初等运算 === | + | |
| - | * 集合概念： | + | |
| - | * 朴素集合论, | + | |
| - | * 罗素(B.Russell)(1872-1970)悖论: 设 $M$ 为一集合，$ P(M)$ 表示 “$M$ 是不以自己作为元素的集”，考察集合 | + | |
| - | * 集合论公理体系 | + | |
| - | * 包含关系： | + | |
| - | * $x$ 是集合 $X$ 的元素记为： $ x \in X $ 或 $ X \ni x $ 不属于则为 $ x \notin X $ | + | |
| - | * **存在量词**：< | + | |
| - | * $ \forall x((x\in A) \Leftrightarrow (x\in B) $ 则集合 A 与 B 为等价的，简记为 $ A=B $ | + | |
| - | * $B$ 包含 $A$： $ (A \subset B):=\forall((x \in A)\Rightarrow(x \in B)) $ | + | |
| - | * $ (A=B) \Leftrightarrow (A \subset B)\land(B \subset A) $ | + | |
| - | * 集合 $M$ 的空子集：$ \varnothing = \{ x \in M| x \neq x \} $ | + | |
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