第二章 实数

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定义 1 满足以下四组条件的集 $\mathbb{R}$ 叫实数集，它的元素叫实数，这些条件构成实数集的公理系统：

• (I)加法公理： 确定了一个映射（加法运算） $$+: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ 使得对于 $\mathbb{R}$ 中任意二元 $x,y$ 之序对 $(x,y)$，有某元 $x + y \in \mathbb{R}$ 与之对应，称 $x+y$ 为 $x、y$之和，同时映射满足以下条件：
  • $1_+.$ 有中性元 $0$ 存在（叫做加法零元），使得$\forall x\in\mathbb{R}$ 有 $$x+0=0+x=x$$
  • $2_+.$ 每个元素 $x\in\mathbb{R}$有元 $-x\in\mathbb{R}$ , 叫做 $x$ 的负元，使得 $$x+(-x)=(-x)+x=0$$
  • $3_+.$ 运算 $+$ 是结合的，即 $\mathbb{R}$ 中任何 $x,y,z)$ 满足条件 $$x+(y+z)=(x+y)+z$$
  • $4_+.$ 运算 $+$ 是交换的，即 $\mathbb{R}$ 中任何 $x,y$ 满足 $$x+y=y+x$$
  • 拥有满足$1_+$，$2_+$，$3_+$的一个运算的集，叫做群；如果此运算为加法，那么称此群为加群；如果此运算是交换的，即满足$4_+$，那么这个群叫交换群或阿贝尔群（阿贝尔N.H.Abel(1802-1829) 挪威数学家）
• (II)乘法公理：确定了一个映射（乘法运算） $$\bullet:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ 使得对于$\mathbb{R}$ 中任意二元 $x,y$ 之序对 $(x,y)$，有某元 $x \cdot y \in \mathbb{R}$ 与之对应，称 $x\cdot y$ 为 $x、y$之积，并且满足以下条件：
  • $1_\bullet.$ 存在中性元 $1\in\mathbb{R}\setminus0$ (乘法的中性元叫单位元) 使得 $\forall x\in\mathbb{R}$,有 $$x\cdot 1=1 \cdot x=x$$
  • $2_\bullet.$ 每个元 $x\in\mathbb{R}\setminus0$ 有元 $x^{-1} \in\mathbb{R}\setminus0$, 叫做 $x$ 的逆元，满足 $$x\cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x=1$$
  • $3_\bullet.$ 运算 $\bullet$ 是结合的， 即 $\forall x,y,z\in\mathbb{R}$ 满足 $$x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$$
  • $4_\bullet.$ 运算 $\bullet$ 是交换的，即 $\forall x,y\in\mathbb{R}$ 满足 $$x\cdot y=y\cdot x$$
• (I,II) 加法与乘法的联系： 乘法对加法有分配性，即 $\forall x,y,z\in\mathbb{R}$, $$(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$$ 如果集合定义了满足上面所有公理的两个运算（加法乘法），就称此集是一个 代数域 或简称 域
• (III) 序公理： $\mathbb{R}$ 的元素间有关系 $\leqslant$, 即对 $\mathbb{R}$ 的元素 $x$ 与 $y$， 或满足 $x\leqslant y$, 或不满足，同时应满足一下四个条件：
  • $0_\leqslant.$ $\forall x \in\mathbb{R}(x\leqslant x)$
  • $1_\leqslant.$ $(x\leqslant y)\land(y\leqslant x) \Rightarrow (x=y)$
  • $2_\leqslant.$ $(x\leqslant y)\land(y\leqslant z) \Rightarrow (x\leqslant z)$
  • $3_\leqslant.$ $\forall x \in\mathbb{R}\forall y \in\mathbb{R}(x\leqslant y)\lor(y\leqslant x)$
  • $\mathbb{R}$ 中的关系 $\leqslant$ 叫做不等关系
  • 如果某集合的某些元素之间满足公理 $0_\leqslant$,$1_\leqslant$,$2_\leqslant$ 的关系，就称此集合为偏序集；如果又满足 $3_\leqslant$，即集合中任二元素可比较大小，则称此集合为线性序集
• (I,III) $\mathbb{R}$ 中的加法与序关系的联系: 如果 $x,y,z$ 是 $\mathbb{R}$ 的元素, 那么 $$(x\leqslant y)\Rightarrow(x+z \leqslant y+z)$$
• (II,III) $\mathbb{R}$ 中的乘法与序关系的联系: 如果 $x,y$ 是 $\mathbb{R}$ 的元素, 那么 $$(0\leqslant x)\land(0\leqslant y) \Rightarrow (0\leqslant x\cdot y)$$
• (IV) 完备（连续）公理: 如果 $X$ 与 $Y$ 是 $\mathbb{R}$ 的非空子集，且具有性质：对于任何 $x\in X, y\in Y$,有 $x \leqslant y$，那么，存在 $c \in \mathbb{R}$ ，使对任何 $x\in X, y \in Y$ 有 $x \leqslant c \leqslant y$

• 加法公理的推论：(以下证明过程见书）
  • 实数集中有唯一的零元
  • 实数集中的每个元素有唯一的负元
  • 方程 $a+x=b$ 在 $\mathbb{R}$ 有唯一的解 $x=b+(-a)$
• 乘法公理的推论：
  • 实数集中有唯一的单位元1
  • 对于每个数 $x \neq 0$，有唯一的逆元 $x^{-1}$
  • 方程 $a\cdot x=b$，当 $a\in \mathbb{R}\setminus0$时，有唯一的解 $x=b\cdot a^{-1}$
• 加法与乘法联系的公理的推论：
  • 对于任何 $x\in \mathbb{R}$, 有$x\cdot 0=0\cdot x=0$
  • $x\cdot y=0 \Rightarrow （x=0)\lor(y=0)$
  • 对于任何 $x\in \mathbb{R}$, 有$-x=(-1)\cdot x$
  • 对于任何 $x\in \mathbb{R}$, 有$(-1)\cdot(-x)=x$
  • 对于任何 $x\in \mathbb{R}$, 有$(-x)\cdot(-x)=x\cdot x$
• 序公理的推论：
  • 对于任何 $x,y\in\mathbb{R}$, 在 $$x<y,x=y,x>y$$ 中，恰有一种关系成立
  • 对于任何 $x,y,z\in\mathbb{R}$,有 $$(x<y)\land(y\leqslant z)\Rightarrow(x<z)\\(x\leqslant y)\land(y<z)\Rightarrow(x<z)$$
• 序与加法及乘法联系的公理的推论：
  • 对于任何 $x,y,z,w\in\mathbb{R}$,有 $$(x<y)\Rightarrow(x+z)<(y+z) \\ (0<x)\Rightarrow(-x<0) \\ (x\leqslant y)\land(z\leqslant w)\Rightarrow(x+z\leqslant y+w) \\ (x\leqslant y)\land(z<w)\Rightarrow(x+z<y+w)$$
  • 如果 $x,y,z\in\mathbb{R}$,那么 $$(0<x)\land(0<y)\Rightarrow(0<xy) \\ (x<0)\land(y<0)\Rightarrow(0<xy) \\ (x<0)\land(0<y)\Rightarrow(xy<0) \\ (x<y)\land(0<z)\Rightarrow(xz<yz) \\ (x<y)\land(z<0)\Rightarrow(yz<xz)$$
  • $0<1$
  • $(0<x)\Rightarrow(0<x^{-1})$, 且 $$(0<x)\land(x<y)\Rightarrow(0<y^{-1})\land(y^{-1}<x^{-1})$$

• 定义2： 设 $X\subset\mathbb{R}$ 是一集合；如果存在一数 $c\in\mathbb{R}$, 使一切 $x\in X$ 都满足$x\leqslant c(c\leqslant x)$, 就说集合 $X$ 是上（下）有界集。
• 定义3： 既有上界又有下界的集合叫做有界集
• 定义4: 对于 $X\subset\mathbb{R},a\in X$, 如果$\forall x\in X(x\leqslant a)$，则称 $a$ 为 $X$的最大元或极大元，（反之则是最小元或极小元）；形式写法为 $$(a=\max X):=(a\in X\land \forall x\in X(x\leqslant a)),\\ (a=\min X):=(a\in X\land \forall x\in X(a\leqslant x))$$ $\max X$读作“$X$ 的极大元”，有时也用 $\max_{x\in X}x$ 表示; 有界集不一定有极大元（极小元），比如 $X=\{x\in\mathbb{R}|0\leqslant x < 1\}$ 有极小元0，但没有极大元。
• 定义5： 集合 $X\subset\mathbb{R}$ 的上界中的最小者，叫做 $X$ 的上确界，写做 $\sup X$ 或 $\sup\limits_{x\in X} x$，即 $$(s=\sup X) := \forall x \in X((x\leqslant s)\land(\forall s' <s \exists x'\in X(s'<x')))$$
• 定义6: 与定义5类似，得到下确界概念，写做 $\inf X$ 或 $\inf\limits_{x\in X} x$，即 $$(i=\inf X) := \forall x \in X((i\leqslant x)\land(\forall i <i' \exists x'\in X(x'<i')))$$
• 引理（上确界原理） 实数集的任何非空有上界的子集有唯一的上确界
• 引理 类似的，有 $(X \textrm{下有界})\Rightarrow(\exists!\inf X)$

• 自然数集的定义：
  • 定义1： 如果对于集合 $X\subset\mathbb{R}$ 的每个数 $x\in X$, 同时有 $x+1 \in X$，就称 $X$ 为一个归纳集
  • 定义2： 包含数 1 的最小的归纳集，即含数 1 的一切归纳集之交，叫自然数集，用 $\mathbb{N}$ 表示，它的元素叫自然数
• 数学归纳原理： 如果 $E$ 是自然数集 $\mathbb{N}$ 的子集，$1\in E$,并且当 $x\in E$ 时，$x+1$ 也属于 $E$,那么 $E=\mathbb{N}$, 即 $$(E\subset \mathbb{N})\land(1\in E)\land(\forall x\in E(x\in E \Rightarrow (x+1)\in E))\Rightarrow E=\mathbb{N}$$
• 自然数的和与积是自然数
• $(n\in\mathbb{N})\land(n\neq 1)\Rightarrow((n-1)\in\mathbb{N})$
• 对于任何 $n\in\mathbb{N}$, 集合 $\{x\in\mathbb{N}|n<x\}$ 有极小元，并且 $$\min\{x\in\mathbb{N}|n<x\}=n+1$$
• $(m\in\mathbb{N})\land(n\in\mathbb{N})\land(n<m)\Rightarrow(n+1\leqslant m)$
• 数 $(n+1)\in\mathbb{N}$ 是 $\mathbb{N}$ 中紧跟着 $n$ 的一个自然数，亦即，当 $n\in\mathbb{N}$ 时，没有任何自然数 $x$ 能满足条件 $n<x<n+1$
• 如果 $n\in\mathbb{N} \land n\neq 1$, 那么数 $(n-1) \in\mathbb{N}$,并且是紧挨着 $n$ 之前的自然数.
• 自然数集的任何非空子集有最小元

• 定义3： 自然数集、自然数的相反数之集，与零的并集，叫做整数集，记作 $\mathbb{Z}$.
• 素数: 设 $p\in\mathbb{N}, p\neq 1$, 如果 $\mathbb{N}$ 中除 1 和 $p$ 之外，不再有因数，我们就把 $p$ 叫做素数
• 算术基本定理：每个自然数能唯一地（不计因数顺序的区别）表示成乘积的形式: $$n=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k$$ 其中 $p_1,p_2,\ldots,p_k$ 都是素数
• 互素数: 数 $m,n\in\mathbb{Z}$ 除 1,-1 之外没有公因数，则称 $m,n$ 互素
• 定义4: 形如 $m\cdot n^{-1}$ 的数叫有理数，其中 $m,n\in\mathbb{Z}$, 有理数记作 $\mathbb{Q}$
• 定义5: 不是有理数的实数叫无理数
• 比如 $\sqrt{2}$ 是无理数，证明见书
• 无理数集的势大于有理数集的势，而与实数之集的势相同。即几乎所有的实数都是无理数。
• 无理数可分为代数无理数与超越数。一个实数，如果它是某个有理系数（或等价得说成是整系数）代数方程 $$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}=0$$ 的根，就叫做代数数，反之，就叫超越数。
• 代数数集的势与有理数集的势相同
• 超越数集的势与实数集的势相同
• $\pi$ 是超越数;
• 希尔伯特¹⁾第七问题: $\alpha^{\beta}$ 为超越数，其中 $\alpha$ 是个代数数 $(\alpha \neq 0)\land(\alpha\neq 1)$,$\beta$ 为代数无理数,例如 $\alpha = 2, \beta = \sqrt{2}$, 即 $2^{\sqrt{2}}$ 为超越数

• 自然数集的任何非空有界集中有最大元
• 自然数集没有上界
• 整数集的任何上有界非空子集有极大元
• 自然数集的任何非空有界子集有极小元
• 整数集既没有上界又没有下界
• 阿基米德²⁾原理: 如果 $h$ 是任意一个固定的正数，那么，对于任何实数 $x$，必能找到唯一的整数 $k$, 使得 $(k-1)h \leqslant x < kh$
• 对于任意的正数 $\varepsilon$, 存在着自然数 $n$ 使得 $0<\frac{1}{n} <\varepsilon$
• 如果 $x\in\mathbb{R},x\geqslant 0$，且对于任何 $n\in\mathbb{N}$ 有 $x<\frac{1}{n}$, 那么 $x=0$
• 对于满足 $a<b$ 的任意数 $a,b\in\mathbb{R}$，存在有理数 $r\in\mathbb{Q}$, 使得 $a<r<b$
• 对于任何 $x\in\mathbb{R}$,存在唯一的整数 $k\in\mathbb{Z}$,使得 $k\leqslant x < k+1$。那么这个数 $k$ 叫做 $x$的整数部分，记作$[x]$; $\{x\}=x-[x]$ 叫做 $x$ 的小数部分，即 $x=[x]+\{x\}$, 且 $\{x\}>0$

• 开区间：$]a,b[\; := \{x\in\mathbb{R}|a<x<b\}$
• 闭区间：$[a,b] := \{x\in\mathbb{R}|a\leqslant x\leqslant b\}$
• 含端点 $b$ 的半开区间：$]a,b] := \{x\in\mathbb{R}|a<x\leqslant b\}$
• 含端点 $a$ 的半开区间：$[a,b[\; := \{x\in\mathbb{R}|a\leqslant x<b\}$
• 定义6：开区间、闭区间、半开区间都叫做数区间或简称区间，确定区间的数叫做端点
• 无界区间：无界集，例如：$]a,+\infty[\; :=\{x\in\mathbb{R}|a<x\}$
• 定义7：称含有 $x\in\mathbb{R}$ 的开区间为 $x$ 的一个邻域
• 数 $x$ 的模或绝对值,记作$|x|$: $$|x|=\left\{ \begin{array}{ll} \;\;\; x,\quad \textrm{when }x>0,\\ \;\;\; 0,\quad \textrm{when }x=0,\\-x,\quad \textrm{when }x<0. \end{array} \right.$$
• 定义8：称 $|x-y|$ 为 $x,y\in\mathbb{R}$ 之间的距离。
• 三角形不等式：$|x-y|\leqslant |x-z|+|z-y|$; 由此也可推 $|x+y|\leqslant |x|+|y|$

• 本章节想解释一下近似计算的必然性与必要性
• 定义9：设 $x$ 是某个量的精确值，$\tilde{x}$ 是该量的已知近似值,就把 $$\Delta(\tilde{x}) := |x-\tilde{x}|,\quad \delta(\tilde{x}) := \frac{\Delta(\tilde{x})}{|\tilde{x}|}$$ 分别叫做近似值 $\tilde{x}$ 的绝对误差与相对误差。当 $\tilde{x}=0$ 时，相对误差没有定义。
• 命题(1)：$\Delta(\tilde{x}+\tilde{y}) := |(x+y)-(\tilde{x}+\tilde{y})| \leqslant \Delta(\tilde{x}) + \Delta(\tilde{y})$
• 命题(2)：$\Delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y}) := |x\cdot y - \tilde{x}\cdot\tilde{y}| \leqslant |\tilde{x}|\Delta(\tilde{y}) + |\tilde{y}|\Delta(\tilde{x}) + \Delta(\tilde{x})\cdot\Delta(\tilde{y})$
• 命题(3)：设 $$y\neq 0, \tilde{y}\neq 0, \delta(\tilde{y})=\frac{\Delta(\tilde{y})}{|\tilde{y}|}<1$$ 那么 $$\Delta\left( \frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right):=\left| \frac{x}{y}-\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right| \leqslant \frac{|\tilde{x}|\Delta(\tilde{y})+|\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})}{\tilde{y}^2}\cdot\frac{1}{1-\delta(\tilde{y})}$$
• 相对误差的估计(1): $$\delta(\tilde{x}+\tilde{y})\leqslant \frac{\Delta(\tilde{x})+\Delta(\tilde{y})}{|\tilde{x}+\tilde{y}|}$$ $$\delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y})\leqslant \delta(\tilde{x}) + \delta(\tilde{y}) + \delta(\tilde{x})\cdot\delta(\tilde{y})$$ $$\delta(\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}) \leqslant \frac{\delta(\tilde{x})+\delta(\tilde{y})}{1-\delta(\tilde{y})}$$
• 当近似值足够好时，有 $\Delta(\tilde{x})\cdot\Delta(\tilde{y}) \approx 0, \delta(\tilde{x})\cdot\delta(\tilde{y}) \approx 0, 1-\delta(\tilde{y})\approx 1$, 所以可得以下简化形式（但不精确）: $$\Delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y}) \leqslant |\tilde{x}|\Delta(\tilde{y}) + |\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})$$ $$\Delta\left( \frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right) \leqslant \frac{|\tilde{x}|\Delta(\tilde{y})+|\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})}{\tilde{y}^2}$$ $$\delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y})\leqslant \delta(\tilde{x}) + \delta(\tilde{y})$$ $$\delta(\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}) \leqslant \delta(\tilde{x})+\delta(\tilde{y})$$

• 引理：如果固定数 $q>1$，那么，对于任何正数 $x\in\mathbb{R}$，必有唯一的整数 $k\in\mathbb{Z}$，使得 $$q^{k-1}\leqslant x < q^k$$
• 定义10：由引理可得 $$q^p\leqslant x < q^{p+1}$$ , 其中整数 $p$ 叫做数 $x$ 关于记数法的基 $q$ 的阶或(当把 $q$ 固定时)简称为数 $x$ 的阶
• 实数的 $q$ 进位记数系统（具体看书的近似推导）

• 定义1：以自然数为变量的函数 $f:\mathbb{N}\to X$ 叫做序列，完整说法为集合 $X$ 中的元素序列
• 定义2：设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 是集合的序列，如果 $X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots$, 即 $\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})$, 那么，就说它是套列集
• 引理：对于任何闭区间套 $I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots$, 存在一点 $c\in\mathbb{R}$,属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何 $\varepsilon > 0$, 在序列中能找到闭区间 $I_k$，使其长 $|I_k|<\varepsilon$，那么 $c$ 就是所有闭区间的唯一公共点

• 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格³⁾原理
• 定义 3：设 $S = \{X\}$ 是由一些集合 $X$ 构成的集族。 如果 $Y \subset \bigcup\limits_{X \in S} X$ (即集合 $Y$ 的每个元素 $y$, 至少含在集族 $S$ 中的一个集合 $X$ 中），就说 $S$ 覆盖 集合 $Y$.
• 引理：在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在着覆盖这一闭区间的有限子族

• 又名 波尔察诺-魏尔斯特拉斯⁴⁾原理
• 定义 4：假如点 $p \in \mathbb{R}$ 的任何邻域都包含 $X \subset \mathbb{R}$ 的一个无穷子集，就称点 $p \in \mathbb{R}$ 为集合 $X$ 的极限点
• 引理(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点

• 定义 1： 如果集合 $X$ 与自然数集 $\mathbb{N}$ 等势， 即 $\textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}$，就称 $X$ 为可数集
• 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集
• 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集
• 推论 1): $\textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}$
• 推论 2): $\textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}$，即可数集的直积也是可数集
• 推论 3): $\textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}$，集有理数集是可数的
• 推论 4): 代数数集是可数集

• 定义 2: 实数集 $\mathbb{R}$ 也叫做数的连续统，而它的势叫做连续统的势
• 定理（康托尔）: $\textrm{card } \mathbb{N} < \textrm{card } \mathbb{R}$
• 推论 1): $\mathbb{Q} \neq \mathbb{R}$ 且无理数存在.
• 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数