第二章 实数

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定义 1 满足以下四组条件的集 \( \mathbb{R} \) 叫实数集，它的元素叫实数，这些条件构成实数集的公理系统：

• (I)加法公理： 确定了一个映射（加法运算） \[ +: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \] 使得对于 \( \mathbb{R} \) 中任意二元 \(x,y\) 之序对 \( (x,y) \)，有某元 \( x + y \in \mathbb{R} \) 与之对应，称 \( x+y \) 为 \(x、y\)之和，同时映射满足以下条件：
  • \(1_+.\) 有中性元 \( 0 \) 存在（叫做加法零元），使得\( \forall x\in\mathbb{R} \) 有 \[ x+0=0+x=x \]
  • \(2_+.\) 每个元素 \(x\in\mathbb{R}\)有元 \(-x\in\mathbb{R}\) , 叫做 \(x\) 的负元，使得\[x+(-x)=(-x)+x=0\]
  • \(3_+.\) 运算 \(+\) 是结合的，即 \(\mathbb{R}\) 中任何 \(x,y,z)\) 满足条件\[x+(y+z)=(x+y)+z\]
  • \(4_+.\) 运算 \(+\) 是交换的，即 \(\mathbb{R}\) 中任何 \(x,y\) 满足\[x+y=y+x\]
  • 拥有满足\(1_+\)，\(2_+\)，\(3_+\)的一个运算的集，叫做群；如果此运算为加法，那么称此群为加群；如果此运算是交换的，即满足\(4_+\)，那么这个群叫交换群或阿贝尔群（阿贝尔N.H.Abel(1802-1829) 挪威数学家）
• (II)乘法公理：确定了一个映射（乘法运算）\[\bullet:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\]使得对于\(\mathbb{R}\) 中任意二元 \(x,y\) 之序对 \( (x,y) \)，有某元 \( x \cdot y \in \mathbb{R} \) 与之对应，称 \( x\cdot y \) 为 \(x、y\)之积，并且满足以下条件：
  • \(1_\bullet.\) 存在中性元 \(1\in\mathbb{R}\setminus0\) (乘法的中性元叫单位元) 使得 \(\forall x\in\mathbb{R}\),有\[x\cdot 1=1 \cdot x=x\]
  • \(2_\bullet.\) 每个元 \(x\in\mathbb{R}\setminus0\) 有元 \(x^{-1} \in\mathbb{R}\setminus0\), 叫做 \(x\) 的逆元，满足\[ x\cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x=1\]
  • \(3_\bullet.\) 运算 \(\bullet\) 是结合的， 即 \(\forall x,y,z\in\mathbb{R}\) 满足 \[x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z\]
  • \(4_\bullet.\) 运算 \(\bullet\) 是交换的，即 \(\forall x,y\in\mathbb{R}\) 满足\[x\cdot y=y\cdot x\]
• (I,II) 加法与乘法的联系： 乘法对加法有分配性，即 \(\forall x,y,z\in\mathbb{R}\), \[(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z\] 如果集合定义了满足上面所有公理的两个运算（加法乘法），就称此集是一个 代数域 或简称 域
• (III) 序公理： \(\mathbb{R}\) 的元素间有关系 \(\leqslant\), 即对 \(\mathbb{R}\) 的元素 \(x\) 与 \(y\)， 或满足 \(x\leqslant y\), 或不满足，同时应满足一下四个条件：
  • \(0_\leqslant.\) \(\forall x \in\mathbb{R}(x\leqslant x) \)
  • \(1_\leqslant.\) \((x\leqslant y)\land(y\leqslant x) \Rightarrow (x=y)\)
  • \(2_\leqslant.\) \((x\leqslant y)\land(y\leqslant z) \Rightarrow (x\leqslant z)\)
  • \(3_\leqslant.\) \(\forall x \in\mathbb{R}\forall y \in\mathbb{R}(x\leqslant y)\lor(y\leqslant x)\)
  • \(\mathbb{R}\) 中的关系 \(\leqslant\) 叫做不等关系
  • 如果某集合的某些元素之间满足公理 \(0_\leqslant\),\(1_\leqslant\),\(2_\leqslant\) 的关系，就称此集合为偏序集；如果又满足 \(3_\leqslant\)，即集合中任二元素可比较大小，则称此集合为线性序集
• (I,III) \(\mathbb{R}\) 中的加法与序关系的联系: 如果 \(x,y,z\) 是 \(\mathbb{R}\) 的元素, 那么\[(x\leqslant y)\Rightarrow(x+z \leqslant y+z)\]
• (II,III) \(\mathbb{R}\) 中的乘法与序关系的联系: 如果 \(x,y\) 是 \(\mathbb{R}\) 的元素, 那么\[(0\leqslant x)\land(0\leqslant y) \Rightarrow (0\leqslant x\cdot y)\]
• (IV) 完备（连续）公理: 如果 \(X\) 与 \(Y\) 是 \(\mathbb{R}\) 的非空子集，且具有性质：对于任何 \(x\in X, y\in Y\),有 \(x \leqslant y\)，那么，存在 \( c \in \mathbb{R} \) ，使对任何 \( x\in X, y \in Y\) 有 \(x \leqslant c \leqslant y \)

• 加法公理的推论：(以下证明过程见书）
  • 实数集中有唯一的零元
  • 实数集中的每个元素有唯一的负元
  • 方程 \( a+x=b \) 在 \(\mathbb{R}\) 有唯一的解 \( x=b+(-a) \)
• 乘法公理的推论：
  • 实数集中有唯一的单位元1
  • 对于每个数 \( x \neq 0\)，有唯一的逆元 \(x^{-1}\)
  • 方程 \(a\cdot x=b\)，当 \(a\in \mathbb{R}\setminus0 \)时，有唯一的解 \(x=b\cdot a^{-1} \)
• 加法与乘法联系的公理的推论：
  • 对于任何 \(x\in \mathbb{R} \), 有\(x\cdot 0=0\cdot x=0\)
  • \(x\cdot y=0 \Rightarrow （x=0)\lor(y=0)\)
  • 对于任何 \(x\in \mathbb{R} \), 有\(-x=(-1)\cdot x\)
  • 对于任何 \(x\in \mathbb{R} \), 有\((-1)\cdot(-x)=x\)
  • 对于任何 \(x\in \mathbb{R} \), 有\((-x)\cdot(-x)=x\cdot x\)
• 序公理的推论：
  • 对于任何 \(x,y\in\mathbb{R}\), 在\[x<y,x=y,x>y\]中，恰有一种关系成立
  • 对于任何 \(x,y,z\in\mathbb{R}\),有\[(x<y)\land(y\leqslant z)\Rightarrow(x<z)\\(x\leqslant y)\land(y<z)\Rightarrow(x<z)\]
• 序与加法及乘法联系的公理的推论：
  • 对于任何 \(x,y,z,w\in\mathbb{R}\),有\[ (x<y)\Rightarrow(x+z)<(y+z) \\ (0<x)\Rightarrow(-x<0) \\ (x\leqslant y)\land(z\leqslant w)\Rightarrow(x+z\leqslant y+w) \\ (x\leqslant y)\land(z<w)\Rightarrow(x+z<y+w) \]
  • 如果 \(x,y,z\in\mathbb{R}\),那么\[ (0<x)\land(0<y)\Rightarrow(0<xy) \\ (x<0)\land(y<0)\Rightarrow(0<xy) \\ (x<0)\land(0<y)\Rightarrow(xy<0) \\ (x<y)\land(0<z)\Rightarrow(xz<yz) \\ (x<y)\land(z<0)\Rightarrow(yz<xz)\]
  • \(0<1\)
  • \((0<x)\Rightarrow(0<x^{-1})\), 且\[(0<x)\land(x<y)\Rightarrow(0<y^{-1})\land(y^{-1}<x^{-1})\]

• 定义2： 设 \(X\subset\mathbb{R}\) 是一集合；如果存在一数 \(c\in\mathbb{R}\), 使一切 \(x\in X\) 都满足\(x\leqslant c(c\leqslant x)\), 就说集合 \(X\) 是上（下）有界集。
• 定义3： 既有上界又有下界的集合叫做有界集
• 定义4: 对于 \(X\subset\mathbb{R},a\in X\), 如果\(\forall x\in X(x\leqslant a)\)，则称 \(a\) 为 \(X\)的最大元或极大元，（反之则是最小元或极小元）；形式写法为\[(a=\max X):=(a\in X\land \forall x\in X(x\leqslant a)),\\ (a=\min X):=(a\in X\land \forall x\in X(a\leqslant x))\] \(\max X\)读作“\(X\) 的极大元”，有时也用 \(\max_{x\in X}x \) 表示; 有界集不一定有极大元（极小元），比如 \(X=\{x\in\mathbb{R}|0\leqslant x < 1\}\) 有极小元0，但没有极大元。
• 定义5： 集合 \(X\subset\mathbb{R}\) 的上界中的最小者，叫做 \(X\) 的上确界，写做 \(\sup X\) 或 \(\sup\limits_{x\in X} x\)，即\[(s=\sup X) := \forall x \in X((x\leqslant s)\land(\forall s' <s \exists x'\in X(s'<x')))\]
• 定义6: 与定义5类似，得到下确界概念，写做 \(\inf X\) 或 \(\inf\limits_{x\in X} x\)，即\[(i=\inf X) := \forall x \in X((i\leqslant x)\land(\forall i <i' \exists x'\in X(x'<i')))\]
• 引理（上确界原理） 实数集的任何非空有上界的子集有唯一的上确界
• 引理 类似的，有 \((X \textrm{下有界})\Rightarrow(\exists!\inf X)\)

• 自然数集的定义：
  • 定义1： 如果对于集合 \(X\subset\mathbb{R}\) 的每个数 \(x\in X\), 同时有 \(x+1 \in X\)，就称 \(X\) 为一个归纳集
  • 定义2： 包含数 1 的最小的归纳集，即含数 1 的一切归纳集之交，叫自然数集，用 \(\mathbb{N}\) 表示，它的元素叫自然数
• 数学归纳原理： 如果 \(E\) 是自然数集 \(\mathbb{N}\) 的子集，\(1\in E\),并且当 \(x\in E\) 时，\(x+1\) 也属于 \(E\),那么 \(E=\mathbb{N}\), 即\[(E\subset \mathbb{N})\land(1\in E)\land(\forall x\in E(x\in E \Rightarrow (x+1)\in E))\Rightarrow E=\mathbb{N}\]
• 自然数的和与积是自然数
• \((n\in\mathbb{N})\land(n\neq 1)\Rightarrow((n-1)\in\mathbb{N})\)
• 对于任何 \(n\in\mathbb{N}\), 集合 \(\{x\in\mathbb{N}|n<x\}\) 有极小元，并且 \[\min\{x\in\mathbb{N}|n<x\}=n+1\]
• \((m\in\mathbb{N})\land(n\in\mathbb{N})\land(n<m)\Rightarrow(n+1\leqslant m)\)
• 数 \((n+1)\in\mathbb{N} \) 是 \(\mathbb{N}\) 中紧跟着 \(n\) 的一个自然数，亦即，当 \(n\in\mathbb{N}\) 时，没有任何自然数 \(x\) 能满足条件 \( n<x<n+1 \)
• 如果 \(n\in\mathbb{N} \land n\neq 1 \), 那么数 \((n-1) \in\mathbb{N}\),并且是紧挨着 \(n\) 之前的自然数.
• 自然数集的任何非空子集有最小元

• 定义3： 自然数集、自然数的相反数之集，与零的并集，叫做整数集，记作 \(\mathbb{Z}\).
• 素数: 设 \(p\in\mathbb{N}, p\neq 1\), 如果 \(\mathbb{N}\) 中除 1 和 \(p\) 之外，不再有因数，我们就把 \(p\) 叫做素数
• 算术基本定理：每个自然数能唯一地（不计因数顺序的区别）表示成乘积的形式:\[ n=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k \] 其中 \(p_1,p_2,\ldots,p_k\) 都是素数
• 互素数: 数 \(m,n\in\mathbb{Z}\) 除 1,-1 之外没有公因数，则称 \(m,n\) 互素
• 定义4: 形如 \(m\cdot n^{-1}\) 的数叫有理数，其中 \(m,n\in\mathbb{Z}\), 有理数记作 \(\mathbb{Q}\)
• 定义5: 不是有理数的实数叫无理数
• 比如 \(\sqrt{2}\) 是无理数，证明见书
• 无理数集的势大于有理数集的势，而与实数之集的势相同。即几乎所有的实数都是无理数。
• 无理数可分为代数无理数与超越数。一个实数，如果它是某个有理系数（或等价得说成是整系数）代数方程\[a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}=0\] 的根，就叫做代数数，反之，就叫超越数。
• 代数数集的势与有理数集的势相同
• 超越数集的势与实数集的势相同
• \(\pi\) 是超越数;
• 希尔伯特¹⁾第七问题: \(\alpha^{\beta}\) 为超越数，其中 \(\alpha\) 是个代数数 \((\alpha \neq 0)\land(\alpha\neq 1)\),\(\beta\) 为代数无理数,例如 \(\alpha = 2, \beta = \sqrt{2}\), 即 \(2^{\sqrt{2}}\) 为超越数

• 自然数集的任何非空有界集中有最大元
• 自然数集没有上界
• 整数集的任何上有界非空子集有极大元
• 自然数集的任何非空有界子集有极小元
• 整数集既没有上界又没有下界
• 阿基米德²⁾原理: 如果 \(h\) 是任意一个固定的正数，那么，对于任何实数 \(x\)，必能找到唯一的整数 \(k\), 使得 \((k-1)h \leqslant x < kh \)
• 对于任意的正数 \(\varepsilon\), 存在着自然数 \(n\) 使得 \( 0<\frac{1}{n} <\varepsilon\)
• 如果 \(x\in\mathbb{R},x\geqslant 0\)，且对于任何 \(n\in\mathbb{N}\) 有 \(x<\frac{1}{n}\), 那么 \( x=0 \)
• 对于满足 \(a<b\) 的任意数 \(a,b\in\mathbb{R}\)，存在有理数 \(r\in\mathbb{Q}\), 使得 \(a<r<b\)
• 对于任何 \(x\in\mathbb{R}\),存在唯一的整数 \(k\in\mathbb{Z}\),使得 \( k\leqslant x < k+1\)。那么这个数 \(k\) 叫做 \(x\)的整数部分，记作\([x]\); \(\{x\}=x-[x] \) 叫做 \(x\) 的小数部分，即 \(x=[x]+\{x\}\), 且 \(\{x\}>0\)

• 开区间：\(]a,b[\; := \{x\in\mathbb{R}|a<x<b\}\)
• 闭区间：\([a,b] := \{x\in\mathbb{R}|a\leqslant x\leqslant b\}\)
• 含端点 \(b\) 的半开区间：\(]a,b] := \{x\in\mathbb{R}|a<x\leqslant b\}\)
• 含端点 \(a\) 的半开区间：\([a,b[\; := \{x\in\mathbb{R}|a\leqslant x<b\}\)
• 定义6：开区间、闭区间、半开区间都叫做数区间或简称区间，确定区间的数叫做端点
• 无界区间：无界集，例如：\(]a,+\infty[\; :=\{x\in\mathbb{R}|a<x\}\)
• 定义7：称含有 \(x\in\mathbb{R}\) 的开区间为 \(x\) 的一个邻域
• 数 \(x\) 的模或绝对值,记作\(|x|\):\[|x|=\left\{ \begin{array}{ll} \;\;\; x,\quad \textrm{when }x>0,\\ \;\;\; 0,\quad \textrm{when }x=0,\\-x,\quad \textrm{when }x<0. \end{array} \right. \]
• 定义8：称 \(|x-y|\) 为 \(x,y\in\mathbb{R}\) 之间的距离。
• 三角形不等式：\(|x-y|\leqslant |x-z|+|z-y|\); 由此也可推 \(|x+y|\leqslant |x|+|y|\)

• 本章节想解释一下近似计算的必然性与必要性
• 定义9：设 \(x\) 是某个量的精确值，\(\tilde{x}\) 是该量的已知近似值,就把\[\Delta(\tilde{x}) := |x-\tilde{x}|,\quad \delta(\tilde{x}) := \frac{\Delta(\tilde{x})}{|\tilde{x}|}\] 分别叫做近似值 \(\tilde{x}\) 的绝对误差与相对误差。当 \(\tilde{x}=0\) 时，相对误差没有定义。
• 命题(1)：\(\Delta(\tilde{x}+\tilde{y}) := |(x+y)-(\tilde{x}+\tilde{y})| \leqslant \Delta(\tilde{x}) + \Delta(\tilde{y})\)
• 命题(2)：\(\Delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y}) := |x\cdot y - \tilde{x}\cdot\tilde{y}| \leqslant |\tilde{x}|\Delta(\tilde{y}) + |\tilde{y}|\Delta(\tilde{x}) + \Delta(\tilde{x})\cdot\Delta(\tilde{y})\)
• 命题(3)：设 \[y\neq 0, \tilde{y}\neq 0, \delta(\tilde{y})=\frac{\Delta(\tilde{y})}{|\tilde{y}|}<1\] 那么 \[ \Delta\left( \frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right):=\left| \frac{x}{y}-\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right| \leqslant \frac{|\tilde{x}|\Delta(\tilde{y})+|\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})}{\tilde{y}^2}\cdot\frac{1}{1-\delta(\tilde{y})} \]
• 相对误差的估计(1):\[\delta(\tilde{x}+\tilde{y})\leqslant \frac{\Delta(\tilde{x})+\Delta(\tilde{y})}{|\tilde{x}+\tilde{y}|}\] \[\delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y})\leqslant \delta(\tilde{x}) + \delta(\tilde{y}) + \delta(\tilde{x})\cdot\delta(\tilde{y})\] \[\delta(\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}) \leqslant \frac{\delta(\tilde{x})+\delta(\tilde{y})}{1-\delta(\tilde{y})}\]
• 当近似值足够好时，有 \(\Delta(\tilde{x})\cdot\Delta(\tilde{y}) \approx 0, \delta(\tilde{x})\cdot\delta(\tilde{y}) \approx 0, 1-\delta(\tilde{y})\approx 1\), 所以可得以下简化形式（但不精确）: \[\Delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y}) \leqslant |\tilde{x}|\Delta(\tilde{y}) + |\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})\] \[ \Delta\left( \frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}\right) \leqslant \frac{|\tilde{x}|\Delta(\tilde{y})+|\tilde{y}|\Delta(\tilde{x})}{\tilde{y}^2}\] \[\delta(\tilde{x}\cdot\tilde{y})\leqslant \delta(\tilde{x}) + \delta(\tilde{y})\] \[\delta(\frac{\tilde{x}}{\tilde{y}}) \leqslant \delta(\tilde{x})+\delta(\tilde{y})\]

• 引理：如果固定数 \(q>1\)，那么，对于任何正数 \(x\in\mathbb{R}\)，必有唯一的整数 \(k\in\mathbb{Z}\)，使得 \[q^{k-1}\leqslant x < q^k\]
• 定义10：由引理可得 \[q^p\leqslant x < q^{p+1}\], 其中整数 \(p\) 叫做数 \(x\) 关于记数法的基 \(q\) 的阶或(当把 \(q\) 固定时)简称为数 \(x\) 的阶
• 实数的 \(q\) 进位记数系统（具体看书的近似推导）

• 定义1：以自然数为变量的函数 \(f:\mathbb{N}\to X\) 叫做序列，完整说法为集合 \(X\) 中的元素序列
• 定义2：设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots \) 是集合的序列，如果 \(X_1 \supset X_2 \supset \cdots \supset X_n \supset \cdots \), 即 \(\forall n \in \mathbb{N}(X_n \supset X_{n+1})\), 那么，就说它是套列集
• 引理：对于任何闭区间套 \(I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots \), 存在一点 \(c\in\mathbb{R}\),属于这些闭区间的每一个。此外，如果对于任何 \(\varepsilon > 0 \), 在序列中能找到闭区间 \(I_k\)，使其长 \(|I_k|<\varepsilon\)，那么 \(c\) 就是所有闭区间的唯一公共点

• 有限覆盖引理又名 博雷尔-勒贝格³⁾原理
• 定义 3：设 \(S = \{X\} \) 是由一些集合 \(X\) 构成的集族。 如果 \( Y \subset \bigcup\limits_{X \in S} X\) (即集合 \(Y\) 的每个元素 \(y\), 至少含在集族 \(S\) 中的一个集合 \(X\) 中），就说 \(S\) 覆盖 集合 \(Y\).
• 引理：在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在着覆盖这一闭区间的有限子族

• 又名 波尔察诺-魏尔斯特拉斯⁴⁾原理
• 定义 4：假如点 \(p \in \mathbb{R} \) 的任何邻域都包含 \( X \subset \mathbb{R} \) 的一个无穷子集，就称点 \(p \in \mathbb{R} \) 为集合 \(X\) 的极限点
• 引理(波尔察诺-魏尔斯特拉斯) 每个无穷有限集至少有一个极限点

• 定义 1： 如果集合 \(X\) 与自然数集 \(\mathbb{N}\) 等势， 即 \( \textrm{card } X = \textrm{card } \mathbb{N}\)，就称 \(X\) 为可数集
• 命题 a): 可数集的无穷子集是可数集
• 命题 b): 有限个或可数个可数集的并集是可数集
• 推论 1): \( \textrm{card } \mathbb{Z} = \textrm{card } \mathbb{N}\)
• 推论 2): \( \textrm{card } \mathbb{N}^2 = \textrm{card } \mathbb{N}\)，即可数集的直积也是可数集
• 推论 3): \( \textrm{card } \mathbb{Q} = \textrm{card } \mathbb{N}\)，集有理数集是可数的
• 推论 4): 代数数集是可数集

• 定义 2: 实数集 \(\mathbb{R}\) 也叫做数的连续统，而它的势叫做连续统的势
• 定理（康托尔）: \( \textrm{card } \mathbb{N} < \textrm{card } \mathbb{R}\)
• 推论 1): \(\mathbb{Q} \neq \mathbb{R} \) 且无理数存在.
• 推论 2): 因为代数数之集可数，所以存在超越数